Differentialgleichungen (exakt?) - 2 Variable

Question

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Aufgabe 11.1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Differentialgleichungen exakt sind und bestimmen Sie ihre Lösungen (gegebenenfalls mit Hilfe eines integrierenden Faktors). Ermitteln Sie diejenigen Lösungen, die $y(1)=-1$ erfüllen und lösen Sie für diese Lösungen jeweils die impliziten Gleichungen $f(x, y)=c$ nach $y$ auf.
(a) $\frac{\sinh (y)}{\cosh (x)}-\frac{\cosh (y)}{\sinh (x)} y^{\prime}=0$ mit $x>0$;
(b) $\frac{2 x}{y}+\frac{2 y^{3}-x^{2}}{y^{2}} y^{\prime}=0$ mit $x>0$

Kann mir da wer helfen?

Comments

das zweite hab ich. Das erste fehlt mir noch

Answer 1

Hallo,

(b) $\frac{2 x}{y}+\frac{2 y^{3}-x^{2}}{y^{2}} y^{\prime}=0$ mit $x>0$

$\frac{2x}{y}$dx +$\frac{2y^3-x^2}{y^2}$dy=0

P= (2x/y)

Q=(2y³-x²)/y²

Py= (-2x)/y²

Qx=(-2x)/y²

-->Py=Qx->exakte DGL

F(x,y)=∫P(x,y) dx

$y^{2}+\frac{x^{2}}{y}=C$

a) nicht exakt

-------->int. Faktor μ(x)=tanh(x)

$y=\operatorname{arsinh}(C \cosh (x))$

Comments

Danke dir! Das zweite sieht bei mir auch so aus. Nur bei a) bekomme ich das mit dem Faktor nicht hin.. Könntest du mir da bitte etwas weiterhelfen

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$\mu(x)=e^{-\int \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x}$ --->allgemein

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Qx = cosh y * cosh x / sinh ² (x)

Py = cosh y / cosh x

Q = - cosh y / sinh x

Dafür bekomme ich:

Qx - Py / Q = -1 / cosh x sinh x

Ist das richtig? Wie soll ich das integrieren?

Was mache ich falsch?

Auf den tanh (x) komm ich gar nicht

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Könntest du bitte die Rechenschritte hinschreiben!

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(sinh(y)/cosh(x)) dx+( - cosh(y)/sinh(x)) dy=0

P= sinh(y)/cosh(x)

Q=  - cosh(y)/sinh(x)

Py= cosh(y)/cosh(x)

Qx= (coshy) *cosh(x))/sinh²(x)

Eingesetzt und vereinfacht in die Formel:

μ(x)= $e^{∫(cosh^2(x) -sinh^2(x)/( sinh(x) cosh(x))dx}$

der Zähler ist 1

-->μ(x)= $e^{∫(1)/( sinh(x) cosh(x))dx}$

-->Substitution: z= tanh(x)

μ(x)=$e^{ln|tanh(x)|}$

μ(x)=tanh(x)

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$\int\limits_{}^{}$ (1) / cosh(x)/sinh(x) dx

Bei der Substitution:

z= tanh(x)

Wie sieht da dann dz/dx aus ?

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Hab mich nur verrechnet..

Hab es jetzt hin bekommen :)

Vielen Dank ! :)

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Wie sieht es dann weiter aus, Wenn ich es mit dem Faktor multipliziere ?

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Hab es hinbekommen :D