Differentialgleichungen (exakt?) - 2 Variable

Question

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Aufgabe 11.1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Differentialgleichungen exakt sind und bestimmen Sie ihre Lösungen (gegebenenfalls mit Hilfe eines integrierenden Faktors). Ermitteln Sie diejenigen Lösungen, die \( y(1)=-1 \) erfüllen und lösen Sie für diese Lösungen jeweils die impliziten Gleichungen \( f(x, y)=c \) nach \( y \) auf.
(a) \( \frac{\sinh (y)}{\cosh (x)}-\frac{\cosh (y)}{\sinh (x)} y^{\prime}=0 \) mit \( x>0 \);
(b) \( \frac{2 x}{y}+\frac{2 y^{3}-x^{2}}{y^{2}} y^{\prime}=0 \) mit \( x>0 \)

Kann mir da wer helfen?

Comments

das zweite hab ich. Das erste fehlt mir noch

Answer 1

Hallo,

(b) \( \frac{2 x}{y}+\frac{2 y^{3}-x^{2}}{y^{2}} y^{\prime}=0 \) mit \( x>0 \)

\( \frac{2x}{y} \)dx +\( \frac{2y^3-x^2}{y^2} \)dy=0

P= (2x/y)

Q=(2y^3-x^2)/y^2

Py= (-2x)/y^2

Qx=(-2x)/y^2

-->Py=Qx->exakte DGL

F(x,y)=∫P(x,y) dx

\( y^{2}+\frac{x^{2}}{y}=C \)

a) nicht exakt

-------->int. Faktor μ(x)=tanh(x)

\( y=\operatorname{arsinh}(C \cosh (x)) \)

Comments

Danke dir! Das zweite sieht bei mir auch so aus. Nur bei a) bekomme ich das mit dem Faktor nicht hin.. Könntest du mir da bitte etwas weiterhelfen

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\( \mu(x)=e^{-\int \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x} \) --->allgemein

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Qx = cosh y * cosh x / sinh ^2 (x)

Py = cosh y / cosh x

Q = - cosh y / sinh x

Dafür bekomme ich:

Qx - Py / Q = -1 / cosh x sinh x

Ist das richtig? Wie soll ich das integrieren?

Was mache ich falsch?

Auf den tanh (x) komm ich gar nicht

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Könntest du bitte die Rechenschritte hinschreiben!

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(sinh(y)/cosh(x)) dx+( - cosh(y)/sinh(x)) dy=0

P= sinh(y)/cosh(x)

Q=  - cosh(y)/sinh(x)

Py= cosh(y)/cosh(x)

Qx= (coshy) *cosh(x))/sinh^2(x)

Eingesetzt und vereinfacht in die Formel:

μ(x)= \( e^{∫(cosh^2(x) -sinh^2(x)/( sinh(x) cosh(x))dx} \)

der Zähler ist 1

-->μ(x)= \( e^{∫(1)/( sinh(x) cosh(x))dx} \)

-->Substitution: z= tanh(x)

μ(x)=\( e^{ln|tanh(x)|} \)

μ(x)=tanh(x)

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\( \int\limits_{}^{} \) (1) / cosh(x)/sinh(x) dx

Bei der Substitution:

z= tanh(x)

Wie sieht da dann dz/dx aus ?

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Hab mich nur verrechnet..

Hab es jetzt hin bekommen :)

Vielen Dank ! :)

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Wie sieht es dann weiter aus, Wenn ich es mit dem Faktor multipliziere ?

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Hab es hinbekommen :D