Berechnen Sie \left|f^{\prime}(y)\right| für die in Teil (a) berechneten Grenzwert-Kandidaten y .

Question

Text erkannt:

Wir betrachten eine rekursiv definierte Folge mit \( a_{n+1}=7-\frac{10}{a_{n}} \), also \( a_{n+1}=f\left(a_{n}\right) \) mit \( f(x)=7-\frac{10}{x} \), für verschiedene Startwerte \( a_{1} \).

Text erkannt:

b) Benutzen Sie eine Tabellenkalkulation, um für verschiedene Werte von \( a_{1} \) die Konvergenz von \( \left(a_{n}\right) \) zu untersuchen und formulieren Sie eine Vermutung, für welche Werte von \( a_{1} \) die Folge \( \left(a_{n}\right) \) konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert.
c) Berechnen Sie \( \left|f^{\prime}(y)\right| \) für die in Teil (a) berechneten Grenzwert-Kandidaten \( y \). Vergleichen Sie die Werte von \( \left|f^{\prime}(y)\right| \) mit Ihrer Vermutung aus (b).

Aufgabe:

Answer 1

Schreibe in Excel in die Zelle A1 irgendeine Zahl (nur nicht 0).

Schreibe in die Zelle A2 die Formel

=7-10/A1

Übertrage diese Formel nach A3, A4, A5 usw. (bis A20 sollte genügen.)

Sieh dir die Entwicklung der Werte von A1 bis A20 durch. Vermutest du Konvergenz?

Probiere nun in der Zelle A1 andere Werte aus und schau auch dort auf mögliche Konvergenz.

Die Abbildung zeigt die ersten 10 Werte mit den Startwerten 0,5 bzw. 999 bzw. -0,2. Da liegt offensichtlich Konvergenz vor. Du kannst ja aber noch selbst einfachere Startwerte wie 1, 2 oder 3 versuchen.