Operatornorm der Abbildung berechnen

Question

Aufgabe:

Sei \( a>0 \). Berechnen Sie für die Abbildung \( T: C\left([0, a], \mathbb{R}_{\geq 0}\right) \rightarrow C\left([0, a], \mathbb{R}_{\geq 0}\right) \), definiert durch
\( T(f)(x)=x \int \limits_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, \)
die Operatornorm \( \|T\| \).

Problem/Ansatz:

Die Operatornorm ist ja folgendermaßen definiert:

\( \|f\|=\sup _{x \in V \backslash\{0\}} \frac{\|f(x)\|_{W}}{\|x\|_{V}}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|f(x)\|_{W}=\sup _{\|x\|_{V} \leq 1}\|f(x)\|_{W} \)

Mir ist aber nicht klar, wie ich diese gemäß der Angabe berechne soll?

Answer 1

Es gilt
\(\begin{aligned} \left\| T\right\| _{ \text{op}} &= \sup_{ }\left\{  \left\| x \int_{ 0}^{ x} f( t)\, dt \right\|_{ C^{ 0}( [ 0, a] , \mathbf{R}_{ \geqslant 0} ) }  \ \middle|\ \left\| f\right\| _{ C^{ 0}(  [ 0, a], \mathbf{R}_{ \geqslant 0} ) } =1\right\} \\[5pt] &= \sup_{ } \left\{ \sup_{ x \in [ 0, a]  } \left| x \int_{ 0}^{ x} f( t) \, dt \right| \ \middle|\ \sup_{ x \in [ 0, a] } \left| f( x) \right| = 1, \: f \in C^{ 0}( [ 0, a] , \mathbf{R}_{ \geqslant 0} )  \right\} \\[5pt] &\leqslant \sup_{ } \left\{ \sup_{ x \in [ 0, a]  }a \int_{ 0}^{ a}\left| f( t)  \right|\, dt \ \middle|\ \sup_{ x \in [ 0, a] } \left| f( x) \right| = 1, \: f \in C^{ 0}( [ 0, a] , \mathbf{R}_{ \geqslant 0} )  \right\} \leqslant a^{ 2} .\end{aligned}\)
Jetzt noch überprüfen, dass für \( f( t)  = 1\) tatsächlich \( \left\| T( f) \right\| _{ C^{ 0}( [ 0, a] , \mathbf{R}_{ \geqslant 0} ) } = a^{ 2}\) gilt.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort und Hilfe