Darstellende Matrix der gegebenen Bilinearform

Question

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Text erkannt:

Es sei \( V=\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3. Auf \( V \) sei eine Bilinearform \( \Phi \) definiert durch
\( \Phi(f, g):=f(1) g(1)-f(0) g(0) \)
a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix (Gram-Matrix) von \( \Phi \) bzgl. der Monombasis.
b) Ist \( \Phi \) symmetrisch und/oder positiv definit? (Begründung!)
c) Bestimmen Sie die Signatur von \( \Phi \). Hinweis: Sie benötigen keine Eigenwerte!

Answer 1

Zu a)

Die Monom-Basis ist

\(b_1=1,\; b_2=t,\; b_3=t^2,\; b_4=t^3\)

An der Stelle (i,j)  steht in der Gram-Matrix der Wert

\(\Phi(b_i,b_j)\), also \(b_i(1)b_j(1)-b_i(0)b_j(0)\)

Damit kannst du die Gram-Matrix leicht berechnen.

Comments

Danke, das hilft mir.

Könntest du mir bei c) noch weiterhelfen?

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Ich habe die Aufgabe selbst nicht gerechnet.
Es wäre schön, wenn du hier die von dir
errechnete Gram-Matrix bekannt machst.
Was die Signatur ganz allgemein anbetrifft,
mach dich schlau bzgl. des Satzes von Sylvester.

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Sieht die Matrix dann so aus? Weil f(0)* g(0) ist ja immer null, außer bei b1

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 &1&1 \\ 1 &1&1&1 \\ 1 &1&1&1\\1 &1&1&1 \end{pmatrix} \)

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Die Matrix ist richtig.

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Zur Kontrolle: Ich habe als Signatur

\((r_+,r_-,r_0)=(1,1,2)\)