Aloha :)
Normalerweise lauten die Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\infty)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]$$
Die Eigenschaften für die Zugehörigkeit zur Menge \(K\) schränken die Intevalle ein:
$$1\le x^2+y^2+z^2\le4\implies1\le r^2\le4\implies r\in[1;2]$$$$z\ge0\implies r\cos\vartheta\ge0\implies\cos\vartheta\ge0\implies\vartheta\in\left[0;\frac\pi4\right]$$$$x\ge0\;;\;y\ge0\implies \cos\varphi\ge0\;;\;\sin\varphi\ge0\implies\varphi\in\left[0;\frac\pi2\right]$$
Mit dem Volumenelement \(dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\) ist die Masse \(M\) des Körpers \(K\):$$M=\int\limits_{r=1}^2\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{r=1}^2r^2\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom M=\frac73\cdot\frac\pi2\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx1,0735\ldots$$
