Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), gegeben durch \( f(x)=\sin (x) \). Finden Sie das eindeutig bestimmte Polynom \( p \) vom Grad \( \leq 6 \), das \( f \) an der Stelle \( a=\frac{\pi}{2} \) von der 6-ten Ordnung polynomial approximiert.
Zeigen Sie außerdem unter Verwendung geeigneter Grenzwertsätze, dass das Polynom \( p \) die Funktion \( f \) an der Stelle \( a=\frac{\pi}{2} \) tatsächlich von der 6-ten Ordnung polynomial approximiert.
Problem/Ansatz:
Ist es zielführend mit der Taylor-Reihe zu arbeiten, um das eindeutig bestimmte Polynim p zu finden - wenn ja hätte ich mir schon folgendes überlegt:
\( \begin{array}{l}f(\pi / 2)=\left.\sin (x)\right|_{x=\pi / 2}=1 \\ f^{\prime}(\pi / 2)=\left.\cos (x)\right|_{x=\pi / 2}=0 \\ f^{\prime \prime}(\pi / 2)=-\left.\sin (x)\right|_{x=\pi / 2}=-1 \\ f^{\prime \prime \prime}(\pi / 2)=-\left.\cos (x)\right|_{x=\pi / 2}=0 \\ f^{\prime v}(\pi / 2)=\left.\sin (x)\right|_{x=\tau / 2}=1 \\ {\left[f(x)=\sin (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{k}(\pi / 2)}{k^{\prime}}(x-\pi / 2)^{k}\right]} \\ =1-\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}}{2 !}+\frac{(x-\pi / 2)^{4}}{4 !}-\frac{(x-\pi / 2)^{6}}{6 !}+\cdots \\ \Rightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-\pi / 2)^{2 n}}{(2 n) !}\end{array} \)
Zum zweiten Teil der Aufgabe hab ich keinerlei Idde, also zu zeigen, dass das Polynom \( p \) die Funktion \( f \) an der Stelle \( a=\frac{\pi}{2} \) tatsächlich von der 6-ten Ordnung polynomial approximiert.
Vielen Dank für eure Hilfe ☺
