Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius r für diese Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Potenzreihen.

i) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius r für diese Potenzreihen.

ii) Bestimmen Sie jeweils alle x ∈ R, für die die Potenzreihen konvergieren.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 1. (12 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen
a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+2) x^{k} \),
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(x+4)^{k} \),
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k} \sqrt{k+1}}(x-3)^{k} \),
d) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{(2 k+1)^{2}}(x-3)^{k} \),
e) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k !}{(2 k) !} x^{k} \)
f) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k}(x+4)^{2 k} \)
i) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius \( r \) für diese Potenzreihen.
ii) Bestimmen Sie jeweils alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die Potenzreihen konvergieren.

Text erkannt:

Aufgabe 1. (12 Punkte) Gegeben seien folgende Potenzreihen
a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+2) x^{k} \),
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(x+4)^{k} \),
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k} \sqrt{k+1}}(x-3)^{k} \),
d) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{(2 k+1)^{2}}(x-3)^{k} \),
e) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k !}{(2 k) !} x^{k} \)
f) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k}(x+4)^{2 k} \)
i) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius \( r \) für diese Potenzreihen.
ii) Bestimmen Sie jeweils alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die Potenzreihen konvergieren.

Answer 1

a) Verwende die Formel von Cauchy-Hadamard

        \(r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}\)

oder

        \(r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)

um den Konvergenzradius \(r\) zu berechnen.

b) Die Potenzreihe \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n\) mit Konvergenzradius \(r\) konvergiert im Intervall \((a-r,a+r)\) und divergiert auf \(\mathbb{R}\setminus[a-r,a+r]\).

Setze \(x=a-r\) ein und untersuche die Reihe auf Konvergenz um zu überprüfen ob die Potenzreihe am linken Rand des Konvergenzintervalles konvergiert.

Setze \(x=a+r\) ein und untersuche die Reihe auf Konvergenz um zu überprüfen ob die Potenzreihe am rechten Rand des Konvergenzintervalles konvergiert.