Bestimmen Sie für die Potenzreihen jeweils den Konvergenzradius

Question

Bestimmen Sie für die folgenden Potenzreihen jeweils den Konvergenzradius:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2 n^{2}+7}{3 n^{2}+3+4}\right)^{n} z^{n} \)

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{19(n !)}{(19 n) !} z^{n} \)

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{9^{n}+4}{7^{n}} z^{2 n} \)

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+4) !}{84^{2 n}} z^{n} \)

Ich hab beim zweiten Unendlich rausbekommen und beim letzten 0. Bei den anderen zwei bekomme ich es noch nicht so ganz raus. Vielen Dank schon mal für jede Hilfe :)

Answer 1

Bei der ersten verwende das Wurzelkriterium: n-te Wurzel aus |a_n| =

( 2n^2 + 7 ) / ( 3n^2 +4 + 3 )

=( 2n^2 + 7 ) / ( 3n^2 +7 )   geht für n gegen unendlich

gegen den Grenzwert  2/3 , also ist der Konv.radius  3/2 .

Bei dem 3. kann man erst mal umschreiben, mit y=z^2 damit überall

der Exponent n steht

( 9^n + 4 ) / 7^n   und dann oben 9^n ausklammern

(9^n ( 1 + 4/9^n) / 7^n und dann Wurzelkriterium.

9/7  *  ( 1 + 4/9^n)^(1/n)

also Grenzwert 9/7 und damit Konv.rad 7/9 für die Reihe mit y

Also gilt für z                z^2 < 7/9

==>                | z | < √(7)  / 3 . Das ist der ges. Radius.