Aloha :)
Von der rekursiv definierten Folge$$a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}\quad;\quad a_0=1$$hast du bereits versucht, die ersten Glieder angegeben. Du hast dich leider schon bei \(a_2\) vertan und dann auch nicht weiter überlegt, wie man die Folgendglieder anders schreiben könnte:$$a_0=1=\pink{2-1}$$$$a_1=1+\frac{1}{2}=\frac32=\pink{2-\frac12}$$$$a_2=1+\frac{\frac32}{2}=1+\frac34=\frac74=\pink{2-\frac14}$$$$a_3=1+\frac{\frac74}{2}=1+\frac78=\frac{15}{8}=\pink{2-\frac18}$$$$a_4=1+\frac{\frac{15}{8}}{2}=1+\frac{15}{16}=\frac{31}{16}=\pink{2-\frac{1}{16}}$$
Hier liegt die Vermutung nahe, dass gilt:$$\pink{a_n=2-\frac{1}{2^n}}\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$Wir prüfen unsere Vermutung kurz mit vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang wurde oben bei \(a_0\) schon gemacht. Bleibt nur noch der Induktionsschritt:$$a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}=1+\frac{2-\frac{1}{2^n}}{2}=1+\frac22-\frac{\frac{1}{2^n}}{2}=1+1-\frac{1}{2\cdot2^n}=2-\frac{1}{2^{n+1}}\quad\checkmark$$
Es ist klar, dass die Folge streng monoton wächst, denn von der \(\pink2\) subtrahieren wir mit wachsendem \(n\) einen immer kleineren Bruch. Formal kannst du das so aufschreiben:$$n<n+1\implies 2^n<2^{n+1}\implies\frac{1}{2^n}>\frac{1}{2^{n+1}}\implies-\frac{1}{2^n}<-\frac{1}{2^{n+1}}$$$$\phantom{n<n+1}\implies2-\frac{1}{2^n}<2-\frac{1}{2^{n+1}}\implies a_n<a_{n+1}$$
Da der Bruch \(\frac{1}{2^n}\) gegen \(0\) konvergiert, konvergiert die Folge gegen \(\pink{a_\infty=2}\).
Durch den Grenzwert ist die Folge nach oben beschränkt und durch die Monotonie nach unten:$$1=a_0\le a_n<a_\infty=2\implies \pink{1\le a_n<2}$$
