Zeige, dass 318517199 durch 7, 11 und 13 teilbar ist.

Question

Zeige mit Stift und Papier ohne Aufwand, dass 318517199 durch 7, 11 und 13 teilbar ist.

Comments

Dazu muss man doch nur die Teilbarkeitsregeln kennen.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 7 (bzw. 11 oder 13) teilbar, wenn die alternierende Summe der von rechts gebildeten Dreiergruppen durch 7 (bzw. 11 oder 13) teilbar ist

Oder meinst du etwas anderes?

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Teilbarkeitsregeln sind heute den meisten SuS unbekannt. Und diese war schon zu meiner Zeit (vor 1966) allen SuS unbekannt.

Answer 1

Aloha :)

Die Zahl \(1001=7\cdot11\cdot13\) wird die Märchenzahl genannt, weil die Zahlen \(7\), \(11\) und \(13\) in Märchen oft vorkommen. (Die Märchen aus 1001 Nacht)

Wir nehmen von der Zahl \(318.517.199\) also ohne Rechnung die ersten 3 Ziffern und die letzten 3 Ziffern und stellen fest, dass:$$\red{318}.517.\green{199}=\red{318}.\green{199}.000+\red{318}.\green{199}=\red{318}.\green{199}\cdot1001$$

Comments

märchenhaft schön :-)

Answer 2

Hier noch ein weiterer Weg.

Teilbarkeit durch 11 ist klar per alternierender Quersumme.

Nun ist \(7\cdot13 = (10-3)(10+3) = 91\). Also kann man recht schnell die Zehnerpotenzen \(\mod 91\) bestimmen:$$\begin{array}{rcl} 99 & \equiv_{91} & 8 \\ 1\cdot 10^2 & \equiv_{91} &1\cdot 9 \\ 7\cdot 10^3 & \equiv_{91} &7\cdot (-1) \\ 1\cdot 10^4 & \equiv_{91} &1\cdot (-10) \\ 5\cdot 10^5 & \equiv_{91} &5\cdot (-9) \\ 8\cdot 10^6 & \equiv_{91} &8\cdot 1 \\ 1\cdot 10^7 & \equiv_{91} &1\cdot 10 \\ 3\cdot 10^8 & \equiv_{91} &3\cdot 9 \\ & \sum & 0\end{array}$$

Also teilbar durch \(7\cdot 13\).

Answer 3

Hallo Roland,

Teilbarkeit durch \(7\)$$\phantom{\to}318517199 - 28\dots \\ \to 38517199 - 35 \dots\\ \to 3517199 - 35 \dots \\ \to 17199 - 14 \dots \\ \to 3199 - 28\dots\\ \to 399 - 35\dots \\ \to 49 $$... ist durch \(7\) teilbar.

Genauso durch \(13\)$$\phantom{\to}318517199 - 26\dots \\ \to 58517199 - 52\dots\\ \to 6517199 - 65\dots \\ \to 17199 - 13\dots \\ \to 4199 - 39\dots \\ \to 299 - 26\dots \\ \to 39$$ .. ist also auch durch 13 teilbar. Und die \(11\) spar' ich mir.

Gruß Werner

PS.: was bedeutet 'ohne Aufwand'? War das obige 'aufwendig'?

Comments

Danke, Werner - aber schau dir mal den Kommentar von ggT22 an.

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 - aber schau dir mal den Kommentar von ggT22 an.

diese Teilbarkeitsregel kenne ich nicht auswendig. Dass es solche gibt war wahrscheinlich.

Das oben schlicht ausrechnen geht aber schneller (also weniger Aufwand) als sich die Teilbarkeitsregeln neu zu überlegen ;-)

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wenn man länger drüber nachdenkt (mehr Aufwand), dann kann man sehen, dass $$517 = 318 + 199$$ist. Daraus folgt dann (nach weiterem kurzen Nachdenken), dass $$318517199 = 318199 \cdot 1000 + 318199 $$Also ist die Zahl durch \(1001\) teilbar. Der Rest ist Geschichte oder hat noch jemand Fragen ;-)

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Kannst du mir bitte deine Überlegungen mitteilen?

Was/Wie hast du das gerechnet?

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Kannst du mir bitte deine Überlegungen mitteilen?

Ok ... wo liegt jetzt das Problem ? Es ist$$318517199 = 318199 \cdot 1000 + 318199 = 318199 \cdot (1000 + 1) \\ 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$$

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1001 = 7*11*13

Das muss man erstmal wissen.

Ich denke nicht, dass man ohne Erfahrung so leicht darauf kommt.

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Ich denke nicht, dass man ohne Erfahrung so leicht darauf kommt.

Vermutlich kennst du die Teilbarkeitsregel von 6. Frage dich durch welche Zahl muss eine Zahl teilbar sein wenn sie durch 7, 11 und 13 teilbar ist. Die Idee 7, 11 und 13 zu multiplizieren liegt nahe. Der Rest ist dann einfach.

PS. Auch ich kenne nur die einfachen Teilbarkeitsregel für 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 auswendig. Das sind auch die, die ich immer noch den Schülern vermitteln.

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Und wie kommt man auf:

318517199 = 318199*1000  + 318199  ???

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Vielleicht siehst du oben bereits, dass gilt: 318 + 199 = 517

Also

318199 * 1001 =

318199000
000318199
----------------
318517199

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Und wie kommt man auf:
318517199 = 318199*1000  + 318199  ???

Na ja - wegen \(517 = 318 + 199\). Hatte ich oben bereits geschrieben.

Answer 4

7 · 11 · 13 = 1001  ist so schön, dass man es nicht vergessen kann, wenn man es einmal angetroffen hat.

Und die Division

318517199 : 1001  sollte auch nicht schwer sein, falls man das schriftliche Dividieren einmal gelernt hat. Man könnte sich das aber auch so überlegen:

(1.)  318517199 : 1000 = 318517.199

Dieser Wert müsste nun etwa ein Promille zu groß sein, also subtrahieren wir davon mal so etwa ein Promille, also ≈ 318 .

(2.) Damit haben wir einen Rest von  ≈ 318199 . Da die letzte Ziffer des Ergebnisses auch eine 9 sein muss, müsste dies schon hinkommen.

(3.) Kontrolle:  1001 * 318199 = 318517199    ..... passt !