Zeigen Sie, dass F differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall,

\( f: I \times I \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto f(x, y) \)

stetig und nach \( y \) stetig partiell differenzierbar. Sei \( a \in I \) und

\( F: I \rightarrow \mathbb{R}, \quad F(y)=\int \limits_{a}^{y} f(x, y) d x . \)

Zeigen Sie, dass \( F \) differenzierbar ist mit

\( F^{\prime}(y)=f(y, y)+\int \limits_{a}^{y} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) d x \)

für alle \( y \in I \).

(Hinweis: Wenden Sie die Kettenregel an auf die Funktion \( \left.(y, z) \mapsto \int \limits_{a}^{z} f(x, y) d x.\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie würde das denn aussehen mit der Kettenregel?

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass momentan die Leibniz-Regel dran ist, die hier unter anderem anzuwenden ist.

Nun folgen wir dem Hinweis und betrachten gleich allgemeiner:

$$G(y,z(y)) := \int_a^{z(y)}f(x,y)\,dx$$

Offenbar ist dann mit \(z(y) = y\)

$$F(y) = G(y,y)$$.

Per Kettenregel erhalten wir:
$$F'(y) = \frac d{dy}G(y,z(y)) = \frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial G}{\partial z}\frac{d z(y)}y$$

$$= \frac{\partial}{\partial y}\int_a^{z(y)}f(x,y)\,dx + \frac{\partial}{\partial z}\int_a^{z(y)}f(x,y)\,dx\cdot \underbrace{\frac{d z(y)}y}_{=1}$$Jetzt vorn Leibniz und hinten Hauptsatz der Integralrechnung anwenden:

$$\stackrel{z(y) = y}{=}\int_a^{y}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dx + f(y,y)$$