Wie bestimme ich die folgenden Werte?

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie:
(a) (−1)^1/5,

(b) i²⁰²³,
(c) alle Lösungen der Gleichung z⁶ = i.
Stellen Sie die Lösungen in der Form a + ib da.

Problem/Ansatz: Wisst ihr wie ich hier vorgehen kann?

Comments

Man könnte damit anfangen, einen sinnvollen Titel zu setzen.

Nachtrag: Danke.

Answer 1

a) = 5.Wurzel aus -1  = -1

Die Wurzel zu ziehen ist hier umstritten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

b) = i^(2022)*i = -1*i = -i

Answer 2

a)

Benutze: exp(i·180°) = -1

b)

Benutze: i^2 = -1

c)

Benutze: exp(i·90°) = i

Answer 3

Hallo,

(a) \(z^5 = -1\)   Es gibt 5 Lösungen.

 \(|z|^5\cdot e^{i\cdot5\varphi}=1e^{i(\pi+k\cdot2\pi)}\quad;\quad k\in\Z\)

 \(|z|=1  \\  \varphi_1=\pi/5 \\  \varphi_2= (\pi +2\pi)/5 = 3\pi/5\)

usw.

Tipp: Immer 2π addieren.

(b) \(i^{4}=1 \Rightarrow i^{2020}=1 \Rightarrow i^{2024}=i^3=-1\)

(c) \(z^6 = 1\) Es gibt 6 Lösungen.

 \(|z|^6\cdot e^{i\cdot6\varphi}=1e^{i\cdot k\cdot2\pi}\quad;\quad k\in\Z\)

 \(|z|=1 \\ \varphi_1=0 \\ \varphi_2= 2\pi/6= \pi/3\)

usw.

Comments

Stellen Sie die Lösungen in der Form a + ib da.

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Ist es zu viel verlangt, dass nach dieser ausführlichen Vorarbeit der Fragesteller den letzten Schritt selbst geht???

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@Arsinoe

Nachfragen sind ja willkommen.

Außerdem bevorzuge ich x+yi.

Das "usw." soll übrigens andeuten, dass es noch weitergehen muss.

:-)