Fehlersuche beim Lösen einer DGL

Question

Aufgabe: Löse die DGL durch Auffinden einer partikulären Lösung

-y''+14y'-24y=-48x-20, y(0)=1, y'(0)=1

Problem/Ansatz:

$$-\lambda^2+14 \lambda-24=0$$

$$\lambda_1=2, \lambda_2=12$$

$$y_0= c_1*e^{2x} + c_2e^{12x}$$

y_p= ax^2+bx

y_p'=2ax+b

y_p''= 2a

-2a+14*(2ax+b)-12(ax^2+bx)=-48-20

-2a+28ax+14b-12ax^2+12bx=-48-20

-2a+14b=-20

28a+12b=-48

-12a=0

Was mache ich falsch, ich erhalte zwei unterschiedliche Werte für b

Answer 1

Hallo,

2 und 12 stimmen, Dein Ansatz für die part. Lösung ist falsch.

richtig:

yp=A +Bx

Dein letzer Summand ist -48x, also Ansatz nur bis x, kein quadr. Glied.

Ich habe erhalten:

A=B=2

Comments

Muss ich also eine Patrialbruchzerlegung machen oder wie geht das weiter?

Kannst du mir da helfen?

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Muss ich also eine Partialbruchzerlegung machen oder wie geht das weiter?

keine Partialbruchzerlegung

yp=A +Bx

yp'= B

yp'' =0

---->y , yp , yp'' in die DGL eingesetzt:

-y''+14y'-24y=-48x-20

-(0) +14 B -24(A+Bx)= -48x-20

14 B -24A- 24Bx= -48x-20

--->Koeffizientenvergleich:

x^1: 1 - 24B= -48 ->B= 2

x^0:  14 B -24A = -20

28 -24A= -20

A= 2

->yp= yp=A +Bx =2+2x

y=yh+yp

Zum Schluß noch die AWB in die Lösung einsetzen.

Dazu muß die Lösung 1 Mal abgeleitet werden.

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Woher erkenne ich eigentlich, wie ich den Ansatz wählen muss?

Weil ich habe den ja falsch gewählt

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siehe hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Das Störglied lautet :-48x-20 ->yp=A+Bx

Wenn das Störglied lauten würde : x^2 -48x-20 ->yp=A+Bx+C x^2

Wenn das Störglied lauten würde : x^3+x^2 -48x-20 ->yp=A+Bx+C x^2 +Dx^3

siehe Fall1 in der angegebenen Tabelle : c₀ +c₁x , die Wahl der Buchstaben ist egal.

der Ansatz für yp ist immer bis zur höchsten Potenz für x anzusetzen, in unserem Fall ist das bis x also.

Außerdem ist bei dem Ansatz der Fall der Resonanz zu überprüfen.

Das bedeutet, das bestimmte Komponenten aus dem Störglied in der Lösung der homogenen DGL auch vorhanden sind.

Das ist aber hier nicht der Fall.

Answer 2

Der Ansatz muss yp=ax+b sein. In der Dgl steht -24 (nicht -12), und rechts steht -48x (nicht -48, aber das war nur ein Tippfehler).

Comments

Für den Ansatz gibt es Tabellen im Internet, z.B. https://www-user.tu-chemnitz.de/~peju/skripte/gdgl/Merkblatt_PL.pdf