Aufgabe:
Seien P, Q ∈ Rn×n zwei orthogonale Matrizen. Die Zahl
√
μ(P,Q):= n· max |(PQ)ij|
1≤i,j ≤n
bezeichnet man auch als die Kohärenz von P und Q. Zeigen Sie: 1 ≤ μ(P,Q) ≤ √n.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass PQ ebenfalls eine orthogonale Matrix ist. Warum gilt für eine orthogo-
nale Matrix R ∈ Rn×n, dass 1/√n ≤ max |Rij| ≤ 1?
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Seien \( P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n} \) zwei orthogonale Matrizen. Die Zahl
\( \mu(P, Q):=\sqrt{n} \cdot \max _{1 \leq i, j \leq n}\left|(P Q)_{i j}\right| \)
bezeichnet man auch als die Kohärenz von \( P \) und \( Q \). Zeigen Sie: \( 1 \leq \mu(P, Q) \leq \sqrt{n} \).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( P Q \) ebenfalls eine orthogonale Matrix ist. Warum gilt für eine orthogonale Matrix \( R \in \mathbb{R}^{n \times n} \), dass \( 1 / \sqrt{n} \leq \max _{1 \leq i, j \leq n}\left|R_{i j}\right| \leq 1 \) ?
