Untersuche die Funktionen auf Differenzierbarkeit

Question

Text erkannt:

$\begin{array}{l}f_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{2}\left(\begin{array}{cc}\ln \left(1+x_{1}^{2} x_{2}^{4}\right) \\ x_{2} e^{x_{1}}\end{array}\right), \\ f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f_{4}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y^{3}}{x^{4}+y^{6}}, & (x, y) \neq 0, \\ 0, & (x, y)=0,\end{array}\right. \\ f_{6}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f_{6}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x_{1}^{3} x_{2}+x_{1}^{5}}{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.\end{array}$

Aufgabe: Untersuche die Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimme, wo möglich ihre Ableitungen.

Wie gehe ich bei den drei Funktionen am besten vor? Also welches „Kriterium“ bzw Methode wäre hier am besten?

Comments

Hab f2 doch geschafft, bin mir trotzdem unsicher bei f4 und f6.

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Hallo

die Fkt. sind da die Komponenten differenzierbar sind überall  ohne (0,0) differenzierbar nur bei 0 muss man  genau untersuchen. Erster Schritt ist f bei 0 stetig, dann die partiellen Ableitungen  usw.

Gruß lul

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Hab jetzt für f4 beispielsweise verschiedene Nullfolgen für x und y eingesetzt und jedes mal kam 0 raus, würde deswegen spontan sagen dass f4 stetig in 0 ist. Anders würde mir nicht einfallen wie ich noch Unstetigkeit zeigen könnte. Jedoch sagt mir Wolframalpha dass die Funktion nicht differenzierbar ist. Kann die Funktion denn stetig sein aber trotzdem nicht differenzierbar oder liege ich falsch?

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Hallo

stetig ist nötige Vors. für differenzierbar, aber nicht hinreichend, denk etwa an die stetige Fkt f(x))=|x| also schreib die Differentialquotienten bei 0 auf und zeige nicht stetig diffb. mit einigen 0 folgen hat man keinen Beweis für Stetigkeit wie ists mit xn=1/n², yn=1/n etwa?

lul

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konnte inzwischen bei beiden Funktionen zeigen, dass diese nicht stetig sind und deswegen nicht differenzierbar sein können. Danke für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

probier es mal mit 1/n³ und 1/n²

Comments

Danke, hat funktioniert. Hab für f6 die Nullfolgen 1/2n und 1/n benutzt, da kommt dann ebenfalls nicht 0 raus, also ist die Folge auch nicht stetig. Das sollte doch als Begründung ausreichen, dass beide Funktionen nicht differenzierbar sind

Answer 2

Partiell Ableiten einmal die Funktion und dann den Grenzwert von limes h gegen 0 und y=0 für (f(h,0)-f(0,0))/h unterschuchen. Analog dann andersrum, für die partielle Diffbarkeit an der gesonderten Stelle (0,0) . Die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit prüfen. Aus dem satz partiell diffbar und stetig folgt differenzierbarkeit. Probiers mal mit Polarkoordinaten