Wie kann ich zeigen, dass zwei Ebenen verschieden sind?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Ebenen

E: 10x -2y +11z =30

F: -20x +4y -22z =30

Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass sie verschieden sind?

Danke im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Der Punkt \((3;0;0)\) liegt in der Ebene \(E\), denn es gilt:$$\green{10}\cdot3\green{-2}\cdot0\green{+11}\cdot0=30\quad\checkmark$$

Der Punkt \((3;0;0)\) liegt nicht in der Ebene \(F\), denn es gilt:$$\red{-20}\cdot3\red{+4}\cdot0\red{-22}\cdot0=-60\ne30\quad\setminus\!\!\!\!/$$

Wären beide Ebenen gleich, müsste der Punkt \((3;0;0)\) in beiden Ebenen liegen.

Answer 2

Hallo

Die Ebenen sind parallel, da ihre Normalenvektoren vielfache voneinander sind. wenn du aber die erste mit 2 multiplizierst sieht man dass sie verschiedenen Abstand von 0 haben, am besten bringt man beide auf Normalform, indem man durch den Betrag des Normalenvektors teilt, dann ist die rechte Seite gerade der Abstand von 0 also die erste durch 15 teilen, die zweite durch 30.

ganz anderer Weg, du findest einen Punkt in 1 und zeigst, dass er nicht auf 2 liegt.  etwa z=2,y=2 daraus x =1,2

in 1 in 2 einsetzen und sehen dass es nicht stimmt bzw mit z=2, y=2 ist z=3,3

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort :)

Ich könnte aber Deine Erklärung nicht verstehen. Ich muss zeigen, dass beide Ebenen nicht identisch sind. Wie kann ich das rechnerisch beweisen?

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Hallo

wenn die Ebenen gleich sind muss der Punkt (1.2,2,2) der in der ersten Ebene liegt auch in der zweiten liegen. das war mein zweiter Vorschlag. der erst setzt voraus dass du die Formel \( \vec{n} *\vec{x}=d\) kennst, wobei n Der Einheitsnormalenvektor ist, dann gibt d den Abstand der Ebene zu 0 an.

Aber wenn man die 2 te Gleichung durch -2 teilt sieht man doch direkt, dass das nicht dieselben Punkte sind.

lul