y'' - 6y' + 9y = e3x / (x2+1)
Wie kann ich hier am besten die partukäre Lösung ermitteln?
Die Homogene hab ich bereits: yH = c1 * e3x + c2 * x * e3x λ = 3 (doppelte Nullstelle)
Mein Ansatz wäre: ( Ax3 + Bx2 + C ) * e3x Das dann 2-mal ableiten und einsetzen (siehe unten)
Stimmt der Rechenweg und was ist dann mit C? Bei mir fällt es weg... Ist es dann Null?
Kann man es auch anders (leichter / schneller) lösen?
\( \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\frac{e^{2}}{x^{2}+1} \\ \lambda^{2}-6 \lambda+9=0 \\ \lambda^{\prime}=3 \text { doppelt } \\ y_{H}=C_{1} x e^{3 x}+C_{2} e^{3 x} \\ \text { Ansatzr }\left(A x^{3}+B x^{2}+C x e^{3 x}=y_{p}\right. \\ y_{p}^{\prime}=\left(3 A x^{2}+2 B x+C\right) e^{3 x}+e^{3 x} 3\left(A x^{3}+B x^{2}+C x\right) \\ y_{p}^{\prime \prime}=(6 A x+2 B) e^{3 x}+3 e^{3 x}\left(3 A x^{2}+2 B x+C\right) e^{3 x} \\ \quad+9 e^{3 x}\left(A x^{3}+B x^{2}+C x\right)+3 e^{3 x}\left(3 A x^{2}+2 B x+C\right) \\ y_{p}^{\prime \prime}=e^{3 x}\left(6 A x+2 B+9 A x^{3}+9 B x^{2}+9 C x+18 A x^{2}+12 B x+6 C\right) \\ \left.y_{p}^{\prime \prime}-6 y_{p}^{\prime}+9 y_{p}=\frac{e^{3 x}}{x^{2}+1}\right) \\ e^{3 x}(-//-)-e^{3 x}\left(18 A x^{2}+12 B x+6 C+18 A x^{3}+18 B x^{2}+18 C x\right) \\ +9\left(A x^{3}+B x^{2}+C x\right) e^{3 x}=\frac{e^{3 x}}{x^{2}+1} \\ e^{3 x}(6 A x+2 B)=\frac{e^{3 x}}{x^{2}+1} \\ (6 A x+2 B)=\left(x^{2}+1\right)^{-1} \\ x^{0}: 2B=1 -> B = 1/2 \\ x^{1}: 6A=0 -> A = 0 \\\end{array} \)
