weitere Lösungsmenge bestimmen

Question

Aufgabe:

Untersuche das LGS auf Lösbarkeit. Bestimme die Lösungsmenge.

b) 2x - 2y - 3z = -1

         -2y + z = -3

    -x + y - 3z = -4

c) 4x - y + 2z = 6

   x + 2y - z = 6

  6x + 3y     = 18

Answer 1

b) z = 2y-3

in I. und III. einsetzen

c) 6x+3y = 18

2x+y= 6

y= 6-2x

in I. und II. einsetzen

Answer 2

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

b)

Gleichungssystem:

2x - 2y - 3z = -1
-2y + z = -3
-x + y - 3z = -4

Umformen und sortieren (Variablen alphabetisch links, Konstanten rechts):

2x - 2y - 3z = -1
-2y + z = -3
-x + y - 3z = -4

Die Gleichungen werden so umgeformt und untereinander geschrieben, daß alle gleichen Variablen
auf der linken Seite der Gleichung untereinander stehen und die konstanten Zahlen
auf der rechten Seite.

    2·x - 2·y - 3·z =  - 1
          - 2·y +    z =  - 3
    - x +    y - 3·z =  - 4

Mit der 1. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit x eliminiert.
Zum Doppelten der 3. Gleichung wird die 1. Gleichung addiert:

    2·x - 2·y - 3·z =  - 1
          - 2·y +    z =  - 3
                  - 9·z =  - 9

Mit der 2. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit y eliminiert.
Von der 1. Gleichung wird die 2. Gleichung subtrahiert:

    2·x         - 4·z =    2
          - 2·y +    z =  - 3
                  - 9·z =  - 9

Die Zeile 1 kann per Division durch ihren ggT vereinfacht werden:

      x         - 2·z =    1
          - 2·y +    z =  - 3
                  - 9·z =  - 9

Mit der 3. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit z eliminiert.
Zum 9fachen der 1. Gleichung wird das -2fache der 3. Gleichung addiert:

    9·x                 =    27
          - 2·y +    z =  - 3
                  - 9·z =  - 9

Zum 9fachen der 2. Gleichung wird die 3. Gleichung addiert:

    9·x                 =    27
          - 18·y         =  - 36
                    - 9·z =  - 9

Nun wird zeilenweise durch die Koeffizienten der Diagonalelemente dividiert:

      x                 =    3
              y         =    2
                      z =    1

Comments

c)

4·x - y + 2·z = 6
x + 2·y - z = 6
6·x + 3·y = 18

2*II + I ; III

6·x + 3·y = 18
6·x + 3·y = 18

II - I

0 = 0 → ein Freiheitsgrad. ich wähle x = t

6·t + 3·y = 18 --> y = 6 - 2·t

t + 2·(6 - 2·t) - z = 6 --> z = 6 - 3·t

Damit ist die Lösung

(t ; 6 - 2·t ; 6 - 3·t)