Bestimmen sie Die Lösungsmenge des LGS- Schnittgeraden herausfinden

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie Die Lösungsmenge des LGS. Interpretieren Sie das LGS und die Lösungsmenge geometrisch.

x+y-z=2

x+z=1

2x+y=5

Problem/Ansatz:

Ich habe das LGS gelöst und keine Lösung raus. Allerdings steht in der Lösung, dass man trotzdem die Schnittgeraden herausfinden kann da die Normalvektoren orthogonal zueinander sind. Doch wie finde ich die 3 Schnittgeraden heraus?

Answer 1

I.+II. :

2x+y = 3 -> Widerspruch zu III.

Mehr kann ich nicht dazu sagen.

Answer 2

Orthogonal sind nur die Normalenvektoren von (1) und (2).

(1) x+y-z=2
(2) x+z=1
(3) 2x+y=5

Deren Schnittgerade ist das, was hier gesucht ist.

Comments

Ja das stimmt, aber wie kamen die auf die Schnittgerade

g: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1\end{pmatrix} \)

und dann für sie 1. Gleichung und 3. Gleichung:

i: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\0 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)

und die 2. und 3. Gleichung:

h: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1\end{pmatrix} \)

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Auf der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 liegen alle Punkte, die das GS

(1) x+y-z=2
(2) x+z=1

erfüllen. Es lässt sich durch Addition beider Gleichungen vereinfachen zu 2x+y=3.

Solche Paare (x,y) sind z.B.

(0;3)

(0,5 ; 2)

(1 ; 1)

(5 ; -7)

(-22 ; 47)

...

Suche dir zwei davon heraus und bastele aus ihnen eine Geradengleichung.

Answer 3

Die Gleichungen stehen für drei Ebenen. Von denen ist keine parallel zu einer anderen der Ebenen.

Deshalb haben je zwei Ebenen eine gemeinsame Gerade.

Die Schnittgerade z.B. von E1 und E2 KANN (muss aber nicht) die Ebene E3 schneiden. Die Lösung des Gleichungssystems würde dann den einzigen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen liefern. Nun hat ggt festgestellt, dass das GS keine Lösung hat. Er konnte oder wollte den Sachverhalt aber nicht vertiefend darstellen.

Nun, es bedeutet nichts anderes als die Tatsache, dass die Schnittgerade von E1 und E2 die Ebene E3 NICHT schneidet (sondern parallel zu ihr verläuft).

Comments

das verstehe ich nicht ganz.. in den Lösungen steht zwar auch das die Schnittgeraden zueinander parallel sind. Aber wie findet man diese Schnittgeraden überhaupt heraus ? (siehe mein Kommentar bei Roland)

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Siehe meinen Kommentar bei Roland.

Allerdings wundert micht die Frage nach den paarweisen Schnittgeraden bzw. deren konkrete Erwähnung in der Musterlösung. Eigentlich sind diese nicht gefragt gewesen.

Answer 4

Ich habe das LGS gelöst und keine Lösung raus.

Das bedeutet, dass es keinen Punkt gibt, der in allen drei Ebenen liegt.

Allerdings steht in der Lösung, dass man trotzdem die Schnittgeraden herausfinden kann da die Normalvektoren orthogonal zueinander sind. Doch wie finde ich die 3 Schnittgeraden heraus?

Betrachtet man nun nur jeweils zwei der drei Ebenengleichungen, so sind diese Ebenenpaare entweder identisch oder echt parallel (beides ist hier nicht der Fall) oder sie besitzen eine gemeinsame Schnittgerade. Die lässt sich dann bei Bedarf ermitteln.