Berechne Integral von Funktion mit Grenzen

Question

Aufgabe:

Eingangssignale/Testsignale

Einheitsimpuls

\( x(t)=\left\{\begin{aligned} \delta_{0}, & t=0 \\ 0, & t \neq 0\end{aligned}\right. \)

Sprung
\( x(t)=\left\{\begin{aligned} \sigma_{0}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0\end{aligned}\right. \)

Rampe
\( x(t)=\left\{\begin{array}{r}m \cdot t, t \geq 0 \\ 0, t<0\end{array}\right. \)

Berechne Integral!

y(t)=K_I* \( \int\limits_{-\infty}^{t} \) x(τ) dτ

Rechnung:

K_I*( \( \int\limits_{-\infty}^{0} \) x(τ) dτ +  \( \int\limits_{0}^{t} \) x(τ) dτ )

= K_I*(0 - (- ∞) + t -0 )

Problem/Ansatz:

Das erste Integral (0 - (- ∞)) soll insgesamt 0 werden. Warum ist das nochmal so?

Meine Vermutung ist, weil t nicht in dem Term vorkommt.

Comments

Stelle ein Foto der Originalaufgabe ein!

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Das ist nicht erlaubt.

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Ja, ich weiß. Ignoriere es einfach, so wie ich auch!

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Es gibt keine Aufgabe. Ich will einfach die Herleitung verstehen, warum wir das erste Integral einfach weglassen können.

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Wenn nichts über die Funktion \(x\) bekannt ist, stimmt das nicht.

Ich vermute, dass es aus einer Anwendung kommt, z.B. kausales Signal \(x\) (also mit \(x(t)=0\) für alle \(t\le 0\)), dann stimmt es. Schau also genau(!) nach, was Du über \(x\) weißt.

Und mit \(-\infty\) rechnen tut man sowieso nicht.

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Ahhhh okay. Dann lag es doch an den Eingangsfunktionen! Die Testsignale haben wir definiert und die sind für x(t)= 0 bei t<0 für den Sprung und die Rampe. Kann man das erste Integral auch für den Impuls streichen? @nudger

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Aha, daher wurde ja gefragt, was wir über \(x\) wissen. Wenn Du Info für Dich behälst, können wir nicht gut helfen.

Für den Impuls (wie von Dir definiert) gilt direkt \(y(t)=0\) für alle \(t\), weil der Impuls sich nur an einer einzigen Stelle von \(0\) unterscheidet, so dass beide Integrale 0 sind (man würde das Integral gar nicht aufteilen).

Für die Sprungfunktion gilt \(\int\limits_0^t x(\tau)\,d\tau = \sigma_0t\) und für die Rampenfunktion \(\int\limits_0^t x(\tau)\,d\tau = m\frac{t^2}2\).

In keinem der drei Fälle passt das, was Du unter "Rechnung" genannt hast (was schon vorher klar war, weil ja in den drei Funktionen gar kein \(\alpha\) drin vorkommt).

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Hallo, danke! Das sollte K_I sein. Ich habe es geändert!

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Sollten die Testsignale dann aber nicht für alle t≤0 definiert sein? Sie sind allerdings t<0 definiert.

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Okay, das sieht besser aus. Es gilt aber in keinem Fall \(\int\limits_0^t x(\tau)\,d\tau = t\) mit Ausnahme der Sprungfunktion im Fall \(\sigma_0=1\).

Versuche nicht solche Rechnungen auswendig zu lernen, sondern lieber die Integralrechnung dahinter zu verstehen - die ist nämlich hier ganz simpel.

Deine drei Testsignale sind auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Ob die Unterscheidung bei \(t\le 0\) (und \(t>0\)) ist oder bei \(t<0\) (und \(t\ge 0\)) spielt keine Rolle, da Unterschiede in einzelnen Funktionswerten den Wert eines Integrals nicht beeinflussen (denk an "Fläche unter dem Funktionsgraph \(=\) Integral" für Funktionen mit positiven (im Sinne von \(\ge 0\)) Werten.

Answer 1

Was weißt du denn über die Funktion x(τ)?

Comments

Hallo!
Nein, das ist eine allgemeine Formel für die Beschreibung eines Integralsystems. x(τ) kommt einfach so in der Formel vor.

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Die zugehörige Differentialgleichung ist dy/dt=K_Ix(t).

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Hey Mathecoach, hast du noch eine Idee oder Kommentar dazu? LG