Skalarprodukt Maximum bestimmen

Question

Aufgabe:

ein globales Maximum annimmt und charakterisieren Sie diese.

Wir haben es versucht  x → ⟨x, Ax⟩ zunächst zu minimieren unter einer geeigneten Nebenbedingung mit Lagrange Multiplikator L(x, lambda) = f(x) + lambda * (||x||^2 -1). Wir wissen auch, dass für x, y ∈ R^n gilt ⟨x, Ay⟩ = ⟨Ax, y⟩ gilt . Und x∈R^n ist mit⟨x,y⟩=0 für alle y∈R^n ,so ist x=0 

Answer 1

Es ist mit \(\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}\)

$$R(x)=\frac{\langle x,Ax \rangle}{\langle x, x\rangle}=\langle x/\|x\|, A(x/\|x\|)\rangle$$

Dies ist eine Funktion von \(x/\|x\|\). \(x\) durchläuft

alle Werte \(\mathbb{R}^n\backslash \{0\}\), wenn

\(x/\|x\|\) die Elemente der Einheitssphäre \(S^{n-1}\) durchläuft.

Nun nutze, dass \(S^{n-1}\) kompakt ist.

Answer 2

Da die Matrix A symmetrisch ist und das globale Maximum auch "charakterisiert" werden soll, ist möglicherweise auch eine andere Herangehensweise effektiver:

Da A symmetrisch ist, gibt es eine ortogonale Matrix \(U = (u_1 \:\: \cdots \:\: u_n)\), die A diagonalisiert. Die Spaltenvektoren \(u_1,\ldots ,u_n\) bilden dabei eine ONB des \(\mathbb R^n\). Also

\(U^TU = I\) und \(UAU^T = D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots , \lambda_n)\)

Dabei sei \(\boxed{\displaystyle \lambda_1 = \max_{i=1,\ldots,n}\lambda_i}\) der größte Eigenwert. Damit haben wir

$$\frac{<x,Ax>}{<x,x>} = \frac{<x,U^TDUx>}{<x,U^TUx>} \stackrel{x=Uy}{=} \frac{<y,Dy>}{<y,y>}\text{ wobei } <y,y>=<x,x>$$

Mit \(y= \sum_{i=1}^ny_iu_i\) erhalten wir

$$<y,Dy> = \sum_{i=1}^n\lambda_i |y_i|^2\leq \lambda_1 \sum_{i=1}^n|y_i|^2= \lambda_1 <y,y>$$

Insgesamt erhalten wir

$$\boxed{\frac{<x,Ax>}{<x,x>} = \frac{<y,Dy>}{<y,y>} \leq \lambda_1}$$

Wobei das Maximum \(\lambda_1\) zum Beispiel für \(x=u_1\) erreicht wird.