Aufgabe:
Sei V = ℝn mit dem Standardskalarprodukt. Seien u und v feste
linear unabhängige Vektoren mit ||u|| = ||v|| = 1, also Vektoren auf der Einheitskugel
(Kugel um den Nullpunkt mit Radius 1).
Sei w mit ||w|| = 1 ein dritter Vektor auf der Einheitskugel, und
S = d(v,w)2 + d(u,w)2 + d(v,w)2 = ||u - v||2 + ||u - w||2 + ||v - w||2.
Zeigen Sie, dass das Maximum von S in Abhängigkeit von w erreicht wird, wenn
w = λ(u + v) für ein λ ∈ ℝ, für das gilt:
(i) λ ≤ -\( \frac{1}{2} \) (für jede Wahl von u und v);
(ii) λ = -1 und S = \( \frac{17}{2} \) wenn <u, v> = cos \( \frac{2π}{3} \).
Problem/Ansatz:
Die Norm ist ja das Quadrat des Skalarprodukts:
S = <u - v , u - v > + <u - w , u - w> + <v - w , u - w>
= <u,u> - 2<u,v> + <v,v> + <u,u> - 2<u,w> + <w,w> + <v,v> - 2<v,w> + <w,w>
= 1 - 2<u,v> + 1 + 1 - 2<u,w> + 1 + 1 - 2<v,w> + 1
Aber wie jetzt weiter?
