Skalarprodukt: Beweise, dass f nicht-entartet ist. f: (V⊕W) x (V⊕W) → K , ((v,w),(v',w')) ↦ <v,v'>V + <w,w'>W

Question

Wie beweist man, dass eine Abbildung nicht entartet ist?

Es geht um das Skalarprodukt...

Die Abbildung lautet:

f: (V⊕W) x (V⊕W) → K , ((v,w),(v',w')) ↦ <v,v'>_V + <w,w'>_W

Man soll zeigen, dass die Abbildung ein Skalarprodukt von V⊕W ist.

Ich hab eigentlich alles, aber mir ist nicht klar, wie man zeigen soll, dass sie nicht entartet ist...

Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte oder wenigstens einen Tipp geben könnte!

Comments

Wenn du hier den Satz 4.3.11 in http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~scharlau/SoSe06/LinAII/la_kap4_3.pdf benutzen darfst/ kannst, musst du zeigen dass f ^  'f_HUT) injektiv ist.

Answer 1

Zu zeigen: \(f\) ist nicht entartet.

Das ist gleichbedeutend mit \((V\oplus W)^{\perp} =\{(0,0)\}\), d.h.

\(f((v,w),(v',w'))=0\; \forall \; v'\in V,\; w'\in W\; \Rightarrow (v,w)=(0,0)\).

Sei also \(\langle v,v' \rangle_V +\langle w,w' \rangle_W=0\; \forall\; v'\in V,\; w'\in W\).

Dies gilt dann insbesondere, wenn \(v'=v\) und \(w'=w\) ist:

\(0\leq \langle v,v \rangle_V+\langle w,w\rangle_W=0\).

Daraus folgt \(v=0\wedge w=0\), also \((v,w)=(0,0)\).