Ist f differenzierbar und bestimme f' (Matrix, Skalarprodukt)

Question

Aufgabe:

A ist eine symmetrische nxn-Matrix , <•,•> SKP auf ℝⁿ

zz.:  f: ℝⁿ  → ℝ , x ↦ e^<x,Ax> ist diffbar und berechne f´

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau wie man diffbar zeigt. Sollte ich es mit dem Diff.quotienten probieren oder mit der Eigenschaft der symmetrie und SKP arbeiten ( <x,Ax> = <Ax,x> = <λx,x> = λ<x,x> wobei λ EW von A) Bei beidem komm ich aber nicht voran.

Zur Ableitung : Kettenregel, also <x,Ax>' * e^<x,Ax>

 Wie genau ich ein SKP ableite weiß ich grade nicht, aber dazu will ich mich informieren, wenn die Vorgehensweise denn stimmt.

Answer 1

$$g(x):=<x,Ax>$$
$$dg:R^n \to \mathcal L(R^n,R)$$
$$dg(x)v = \partial_v g (x) = \lim_{t\to 0} \frac{g(x+tv)-g(x)}{t}=2<x,Av>=(2x^tA)v$$

$$\Rightarrow dg(x)=2x^tA$$
$$dexp(x)=e^x$$
$$d(exp \circ g)(x)=dexp(g(x)) dg(x)= e^{<x,Ax>} 2x^tA$$

Comments

Danke dafür!

Zeigt man dadurch direkt die differenzierbarkeit? Also Lösung => diffbar

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Ah hier wurde per Diff.quotienten die diffbarkeit gezeigt (dg(x)v=∂vg(x)=limt→0g(x+tv)−g(x)t=2<x,Av>=(2xtA)v)

Dementsprechend muss man den Grenzweret nur noch in die Kettenregel einsetzen..

Danke nochmal

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@hilfloserstudent1 du hast Recht, die Differenzierbarkeit habe ich nicht begründet. Wenn man weiss. dass exp diffbar ist, dann reicht nur die von g zu zeigen. Eine Möglichkeit ist, zu sagen, dass g ein Polynom in mehreren Variablen ist, oder die partiellen Ableitungen von g ausrechnen und zeigen, dass diese stetig sing, oder mittels ausgerechneten dg die Jacobimatrix bestimmen und dann mittels Definition Differenzenquotienten bestimmen.