Bestimmen Sie den Wert des Parameters a für den die Funktion f(x) genau n verschiedene Nullstellen hat.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie den Wert des Parameters a für den die Funktion f(x) genau n verschiedene Nullstellen hat.

a) n = 2, f(x) = a +(x-1)²

b) n = 3, f(x) = x⁸ -ax⁴

c) n = 0, f(x) = e^ax - a

Angebliche Lösungen:

a) a < 0

b) a > 0

c) a ≤ 0

Problem/Ansatz:

Guten Tag liebe Community,

ich lerne gerade für meine Matura/Abi und komme bei dieser Art von Beispiel nicht weiter.

Ich habe natürlich zuerst nach bereits existierenden Fragen gesucht, bin aus diesen allerdings nicht schlau geworden.

Ich habe das Gefühl, dass ich irgendeine wichtige Rechenregel nicht beachte.

Ich habe grundsätzlich Lösungen zu den jeweiligen Beispielen habe allerdings keine Ahnung welche Schritte ich unternehmen muss um auf diese Lösungen zu kommen.

Vielen Dank im Vorhinein

Comments

Hallo,

ich setze voraus, dass es um reelle Zahlen geht.

a) n = 2, f(x) = a +(x-1)^2

0 = a +(x-1)^2

-a=(x-1)^2

x=1±√(-a)

Für a>0 gibt es keine Lösung, für a=0 genau eine und für a<0 zwei Lösungen.

b) n = 3, f(x) = x^8 -ax^4

0=x^8-ax^4

0=x^4(x^4-a)

\(x_1=0; x_{23}=\pm\sqrt[4]{a}\)

Die vierte Wurzel aus a existiert nur für a≥0.

Für a=0 gibt es aber nur genau eine Nullstelle x=0.

Also bleibt a>0.

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a) violett

b) rot

c) grün

https://www.desmos.com/calculator/iq7gqgipt0

Answer 1

a) a+x^2-2x+1= 0

x^2-2x+1+a = 0

pq-Formel:

x1/2 = 1±√(1-1-a) = 1±√-a

-a >0

a <0

b) z= x^4

z^2-az =0

z(z-a) = 0

z= 0 v z= a

resubstituieren:

x^4 = 0

x= 0

x^4 = a

x= ± a^(1/4)

c) e^(ax) -a = 0

e^(ax) = a

ax = lna

x= lna/a

für a<=0 ist lna nicht definiert

 -> für a <=0 keine Lösung

Comments

Danke für die schnelle Antwort aber ich hab das Gefühl, dass ich jetzt nur noch mehr fragen habe.

Beispiel a) Anwendung der pq-formel ist q = -1 oder q = -a und warum?

Ich habe ganz allgemein das Gefühl da irgendwie zu hängen.

Gibt es da irgendwelche Tipps wie ich das lernen kann?

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p= -2 -> -p/2 = 1

q= 1+a -> -q = -1-a

Wenn die Wurzel > 0 ist, gibt es 2 Lösungen

-a> 0|*(-1)

a < 0

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Ohne pq-Formel kannst du so an Aufgabe a) herangehen:

\(f(x)=(x-1)^2+a\)

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S (1|a) und damit hat die Parabel nur zwei Nullstellen, wenn a kleiner als 0 ist.

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Die Aufgaben a) und b) behandeln für jede konkrete Wahl von a ein Polynom. Die Bestimmung von Nullstellen eines Polynoms habe ich hier in einem Wissensartikel erklärt. Du findest aber unter dem Suchwort 'Nullstellen eines Polynoms' jede Menge Hinweise im Netz.

Entsprechendes gilt für das Suchwort 'Nullstellen von Exponentialfunktionen'. Hier findest du Hinweise zu c).

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Die Verwendung der pq-Formel in a) finde ich abwegig.

\(f(x)=0\Rightarrow 0\leq (x-1)^2=-a\), also \(a\leq 0\) und

\(x-1=\pm \sqrt{-a}\). Das sind genau im Falle \(a<0\) zwei Werte.

Answer 2

Lösungsvorschlag für b)  0 = x⁸ -ax⁴

                                   0=x⁴·(z²-a) mit z=x²

Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor null ist:

x⁴=0 oder z²-a=0

Dann gibt es Nullstellen für x₁=0; z₂=\( \sqrt{a} \) oder z₃= - \( \sqrt{a} \).

Resubstitution führt zu fünf Nullstellen.

Wenn drei Nullstellen davon reell sein sollen, muss a>0 sein.

Comments

Du hast beim Ausklammern den falschen Exponenten

fabriziert: \(0=x^4(x^4-a)\)

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Danke - wurde korrigiert.

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0=x^4·(z^2)a)      

Da ist bei der Korrektur wohl etwas schiefgelaufen.

Resubstitution führt zu fünf Nullstellen.

Da es hier offensichtlich um reellwertige Funktionen geht, ist dieser Hinweis verwirrend. Außerdem gibt es für a=0 nur genau eine Nullstelle und keine fünf.

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Ja. Korrektur war schiefgelaufen.

Answer 3

Zu c)

Ist \(x\) eine Lösung von \(f(x)=0\), dann gilt

\(a=e^{ax}>0\). Es gibt also keine Lösung,

wenn \(a\leq 0\) ist.