Gibt es einen Trick, um diesen Term zu vereinfachen?

Question

Aufgabe:

Gibt es einen Trick um diesen Term zu vereinfachen?

\( 6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\sin (x+y) \cos y \)

\( \boxed{6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\sin (x+y) \cos y -\cos x\sin y \cos y}\)

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Additionstheoreme auswendig. Ich kann die aber nicht anwenden. Das ist irgendwie zu viel für mich. Wo fange ich überhaupt an? Was muss ich ersetzen?

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Edit:

Der korrekte Term ist eingerahmt.

MontyPython

Comments

Hallo,

ich würde mit sin(x+y) anfangen.

\( 6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\sin (x+y) \cos y -\cos x\sin y \cos y\)

\( =6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+(\cos (y) \sin (x)+\cos (x) \sin (y) ) \cos y -\cos x\sin y \cos y\)

\( =6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\cos ^2(y) \sin (x)+\cos (x) \sin (y)  \cos y -\cos x\sin y \cos y\)

\( =6 \sin x \sin ^{2} y+4 \sin x \cos ^{2} y\)

\( =2 \sin x (\sin ^{2} y+2\sin^2y+2 \cos ^{2} y)\)

\( =2 \sin x (\sin ^{2} y+2)\)

Answer 1

Hallo

Ich habe da mal ein paar Umformungen probiert und dann den Term dem Wolf Ram gefüttert. Die Resultate, die der liefert, stellen aber auch keine wirklichen "Vereinfachungen" dar.

Möglicherweise sind sie aber für gewisse Zwecke nützlich.

Schau selber:

https://www.wolframalpha.com/input?i=6+sinx+%28sin+y%29%5E2%2B3+sinx+%28cos+y%29%5E2%2Bsin%28x%2By%29+cos+y

Answer 2

Du könntest 3sinx ausklammern, sin(x+y) auflösen und ausmultipizieren.

Das bringt aber nicht viel.

Wie lautet die vollständige Aufgabe?

Answer 3

Hallo,

falls die Aufgabe so lautet , habe ich erhalten:

Korrektur Aufgabe:

\( 6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\sin (x+y) \cos y \)-cos xsinycosy

cos(y) cos(x) sin(y) fällt dann natürlich heraus (4.Zeile) , ich wollte das Ganze nicht nochmal schreiben.

dann bekommst Du: 2 sin(x) sin^2(y) +4

Answer 4

Hallo Workflow, ich habe mir erlaubt, deine Frage neu zu formulieren. Es ist nämlich nur ein Term. Wie du den Antworten entnehmen kannst, kann man diesen Term umformen - aber nie mit dem Ergebnis einen vereinfachten Term zu erhalten. Da du von Vereinfachungen sprichst, nehme ich an, dass du die Aufgabe nicht richtig wiedergegeben hast. Ein Additionstheorem kannst du natürlich da benutzen, wo das Argument der Winkelfunktion aus zwei Summanden besteht (ein Faktor des dritten Summanden ist sin(x+y)).

Comments

Ja ich dachte man kann das Gliedweise machen. Die ganze Aufgabe lautet:

\( 6 \sin x \sin ^{2} y+3 \sin x \cos ^{2} y+\sin (x+y) \cos y \) -cosxsinycosy

Ich möchte nicht einfach die Lösung, sondern das wirklich verstehen. Das überfordert mich extrem. Ich weiß nie wo ich anfangen soll

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Jetzt ist noch -cosxsinycosy hinzugekommen. Wenn du da anfängst, wo du ein Additionstheorem benutzen kannst, nämlich wo das Argument der Winkelfunktion aus zwei Summanden besteht, dann hebt sich -cosxsinycosy auf und es kann wirklich eine (geringe) Vereinfachung des Terms erreicht werden. Die Idee mit dem Additionstheorem hattest du doch schon selbst gefunden.

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Wie schon gesagt, das ist ein Term und keine Aufgabe. Man müsste wissen, in welchem Zusammenhang dieser Term auftaucht, dann kann man auch helfen mit Vereinfachungen (falls es überhaupt darum geht). Also: Woher stammt dieser Term, aus welcher Aufgabe oder Fragestellung?