Aufgabe:
Text erkannt:
Es seien \( M, N \) quadratische Matrizen der Form \( M=A B \) und \( N=B A \) für gewisse Matrizen \( A \in \operatorname{Mat}(m, n ; \mathbb{C}) \) und \( B \in \operatorname{Mat}(n, m ; \mathbb{C}) \). Zeigen Sie:
a) Für alle Polynome \( f \in \mathbb{C}[x] \) gilt \( M f(M)=A f(N) B \) und \( N f(N)=B f(M) A \).
Hinweis: Betrachten Sie Monome zuerst.
b) Es gilt \( M \mu_{N}(M)=0=N \mu_{M}(N) \), wobei mit \( \mu_{Y} \) das Minimalpolynom der Matrix \( Y \) bezeichnet wird.
c) Es gilt eine der folgenden drei Gleichungen:
(i) \( \mu_{M}(x)=\mu_{N}(x) \),
(ii) \( \mu_{M}(x)=x \mu_{N}(x) \),
(iii) \( \mu_{N}(x)=x \mu_{M}(x) \).
Welcher dieser drei Fälle trifft bei \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \) und \( B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) zu?
Problem/Ansatz:
Das ist aus einer Altklausur meines Profs.
Bei a) checke ich das mit den Monomen . Soll man dann eine Induktion durchführen?
Bei b) und c) bin ich nicht so sicher, was ich da tun soll. :D
