Aufgabe:
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Aufgabe 6 (5 Punkte) Gegeben sei die Matrix \( A:=\left(\begin{array}{rrrr}-2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & 2\end{array}\right) \).
(a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( \mathcal{L} \) des linearen Gleichungssystems \( \left(A-4 \mathrm{E}_{4}\right) x=0 \).
(b) Geben Sie das charakteristische Polynom \( \chi_{A}(\lambda) \) von \( A \) als Produkt von Linearfaktoren an.
(c) Ist \( A \) invertierbar?
(d) Ist \( A \) diagonalisierbar?
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand bei der b) helfen. Was wird da verlangt?
Ich weiß nicht was in der Musterlösung gemacht wird und bin überfordert. :/
Hier die Musterlösung:
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(b) Wir nutzen aus, dass \( A \) eine untere Blockdreiecksmatrix ist:
\( \begin{aligned} \chi_{A}(\lambda) & =\operatorname{det}\left(A-\lambda \mathrm{E}_{4}\right)=\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cc} -2 & -4 \\ 0 & 4 \end{array}\right)-\lambda \mathrm{E}_{2}\right) \cdot \operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{array}\right)-\lambda \mathrm{E}_{2}\right) \\ & =(-2-\lambda)(4-\lambda)\left((2-\lambda)^{2}-4\right) \\ & =(\lambda+2)(\lambda-4)\left(4-4 \lambda+\lambda^{2}-4\right) \\ & =(\lambda+2)(\lambda-4)\left(\lambda^{2}-4 \lambda\right) \\ & =\lambda \cdot(\lambda+2)(\lambda-4)^{2} \end{aligned} \)
Alternativer Lösungsweg 1:
Wir entwickeln \( \chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}-2-\lambda & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 4-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2-\lambda & -2 \\ 0 & -2 & -2 & 2-\lambda\end{array}\right) \) nach der 2. Zeile und erhalten:
\( \begin{aligned} \chi_{A}(\lambda) & =\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} -2-\lambda & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 4-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2-\lambda & -2 \\ 0 & -2 & -2 & 2-\lambda \end{array}\right) \\ & =(-1)^{2+2}(4-\lambda) \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} -2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -2 \\ 0 & -2 & 2-\lambda \end{array}\right) \\ & =(4-\lambda)((-2-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda)-4(-2-\lambda)) \\ & =(\lambda+2)(\lambda-4)\left(4-4 \lambda+\lambda^{2}-4\right) \\ & =\lambda(\lambda+2)(\lambda-4)^{2} \end{aligned} \)
Alternativer Lösungsweg 2:
Aus (a) wissen wir, dass \( \lambda_{1}=4 \) ein Eigenwert sein muss, ferner können wir den Eigenwert \( \lambda_{2}=-2 \) direkt ablesen, ein zugehöriger Eigenvektor wäre \( e_{1} \). Da ferner die letzte Zeile ein Vielfaches der vorletzten ist, hat die Matrix nicht vollen (Zeilen-)Rang, insbesondere ist die Determinante - und damit ein Eigenwert - gleich 0 . Also \( \lambda_{3}=0 \).
Wir berechnen \( \lambda_{4} \) über die Spur, es gilt
\( \operatorname{Sp} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4} \)
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