Wieso ist die Summe von x=0 bis l-1 von 2x = 2l - 1

Question

Aufgabe: Wieso gilt:\( \sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} \)=2ⁱ-1?

Problem/Ansatz:

Ich kann mir das klar machen, indem ich Zahlen einsetze und dann entsprechende Ergebnisse bekomme.

Allerdings verstehe ich nicht, wieso das funktioniert. Gibt es einen Beweis oder eine Erklärung dafür?

Answer 1

Hallo

so was beweist man mit Induktion

 1. richtig fürI=1

 2. Indvors richtig für I-2

daraus folgern richtig für I-1

fertig und der Induktionsschluß ist sehr einfach.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

den Zusammenhang kann man sehr einfach zeigen. Es ist doch:$$\sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} = 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{i-1}$$das multipliziere mal mit \(2\). Für die linke Seite der Gleichung bedeutet das auch, dass jeder Summand mit \(2\) multipliziert wird, d.h. der Exponent erhöht sich um \(1\):$$2\cdot\sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} = 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{i}$$und nun ziehe von dieser Gleichung die erste von oben einfach ab. Dadurch entfallen alle Summanden mit den Exponenten von \(1\) bis \(i-1\):$$2\cdot\sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} \space - \sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} = \sum\limits_{x=0}^{i-1}{2^x} = 2^i - 2^0 = 2^i - 1$$Gruß Werner

Answer 3

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitungen