Question

Bestimmen Sie die SVD von \( B \) für

\( B=v v^{\top} \quad \text { mit } \quad v=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} . \)

Comments

Sicher, dass es sich nicht um die UVP von B handelt? Ich würde 35€ schätzen...

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Was ist SVD, schreib Abkürzungen immer aus!

lul

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Was ist ein "SVD" ? Ich war nicht in deiner Vorlesung.

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Vermutlich ist eine Singular Value Decomposition gemeint.
Finde eine Givens-Rotation, die die zweite Komponente von \(v=(1,2)^\top\) nullt.
Dazu finde ein \(x\in\R\) mit \(\small\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}\) mit \(r\in\R\).
Die zweite Zeile liefert \(\sin x=2\cos x\). Wähle also \(x=\arctan2\) und damit \(\sin x=\large\frac2{\sqrt5}\) und \(\cos x=\large\frac1{\sqrt5}\).
Die erste Zeile liefert dann \(r=\sqrt5\).

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)·(1  2)=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \).

Comments

Und jetzt noch die SWZ davon

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Ich dachte, die SVD wäre gesucht... ;)

Answer 2

Die Matrix \(B\) ist symmetrisch und hat die Eigenwerte 5 und 0. Sie ist damit mit einer Orthogonalmatrix \(T\) diagonalisierbar. In \(T\) stehen die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten, diese sind automatisch orthogonal. D.h. die Matrix \(T=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2& -1\end{pmatrix}\) erfüllt, dass \(T\cdot T^T\) eine Diagonalmatrix ist. Damit \(T\) orthogonal wird (also die eben erwähnte Diagonalmatrix die Einheitsmatrix wird) müssen nur noch die Spalten auf Länge 1 normiert werden, also mit Faktor \(\frac1{\sqrt5}\) multipliziert. Mit \(U:=\frac1{\sqrt5}T\) gilt dann: \(U\) ist orthogonal und

 \(U\cdot \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\cdot U^T=B\)

und das ist die SVD. Übrigens ist \(T\) und damit \(U\) symmetrisch, also \(U=U^T\).