Aufgabe:
Zeigen Sie: $$ \int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2) $$
Betrachten Sie $$ I_a(t) := \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx $$ für $$ t \geq 0 $$ und $$ a \in (0,1) $$.
$$ \text{Um zu zeigen, dass } \int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2) \text{ gilt, betrachten wir die Funktion } I_a(t) := \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx \text{ für } t \geq 0 \text{ und } a \in (0,1). $$
$$ \text{Zunächst betrachten wir den Fall } t = 0: I_a(0) = \int_a^1 \frac{x^0 - 1}{\ln(x)} dx = \int_a^1 \frac{1 - 1}{\ln(x)} dx = 0. $$
$$ \text{Für } t > 0 \text{ betrachten wir die Funktion } I_a(t): I_a(t) = \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx. $$
(ab hier sind wir uns unsicher)
$$ \text{Wir nehmen an, dass die Funktion } f(t) = I_a(t) \text{ differenzierbar ist. Um dies zu zeigen, berechnen wir die Ableitung von } f(t) \text{ nach } t: $$
$$ \frac{d}{dt} I_a(t) = \frac{d}{dt} \left(\int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx\right). $$
$$ \text{Durch Anwendung der Ableitungsregeln und des Fundamentalsatzes der Analysis erhalten wir:} $$
$$ \frac{d}{dt} I_a(t) = \int_a^1 \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{x^t - 1}{\ln(x)}\right) dx. $$
$$ \text{Da } \frac{\partial}{\partial t} (x^t - 1) = x^t \ln(x) \text{ und } \frac{\partial}{\partial t} (\ln(x)) = 0 \text{, vereinfacht sich der Ausdruck zu:} $$
$$ \frac{d}{dt} I_a(t) = \int_a^1 \frac{x^t \ln(x)}{\ln(x)} dx = \int_a^1 x^t dx. $$
$$ \text{Integrieren wir den Ausdruck, erhalten wir:} $$
$$ \frac{d}{dt} I_a(t) = \left[\frac{x^{t+1}}{t+1}\right]_a^1 = \frac{1}{t+1} - \frac{a^{t+1}}{t+1}. $$
$$ \text{Da } \frac{d}{dt} I_a(t) \text{ die Ableitung von } I_a(t) \text{ nach } t \text{ ist, müssen wir } \frac{d}{dt} I_a(t) \text{ mit } I_a'(t) \text{ bezeichnen.} $$
$$ \text{Um das Problem zu lösen, betrachten wir die gewöhnliche Differentialgleichung:} $$
$$ I_a'(t) = \frac{1}{t+1} - \frac{a^{t+1}}{t+1}, \quad I_a(0) = 0. $$
$$ \text{Die Lösung dieser Differentialgleichung ist:} $$
$$ I_a(t) = \int_0^t \frac{1}{s+1} - \frac{a^{s+1}}{s+1} ds. $$
$$ \text{Integrieren wir den Ausdruck, erhalten wir:} $$
$$ I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^t \frac{a^{s+1}}{s+1} ds. $$
$$ \text{Da } \int_0^t \frac{a^{s+1}}{s+1} ds \text{ für } t \geq 0 \text{ monoton fallend ist, können wir den Ausdruck zu:} $$
$$ I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^\infty \frac{a^{s+1}}{s+1} ds + R, $$
$$ \text{wobei } R \text{ ein Restterm ist.} $$
$$ I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^\infty \frac{1}{s+1} ds = \ln(t+1) - \ln(1) = \ln(t+1). $$
$$ \text{Nun betrachten wir den speziellen Fall } t = 1: I_a(1) = \ln(1+1) = \ln(2). $$
$$ \text{Da } I_a(t) = \ln(t+1) \text{ für } t \geq 0 \text{ und } I_a(1) = \ln(2), \text{ folgt daraus:} $$
$$ \int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2). $$
