Kurve lipschitzstetig => rektifizierbar?

Question

Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie diese mit einem Gegenbeispiel:

Ist $$µ: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^2$$ lipschitzstetig, so ist µ rektifizierbar.

Ich dachte daran es zu zeigen, indem man mit dem Hauptsatz: $$\int_0^1 |µ'(s)| ds$$ umformt, und dann mit der Def. der Lipschitzstetigkeit so einen Ausdruck: $$|µ(1) - µ(0)| \leq L * |1 - 0| = L $$ abschätzt. Allerdings stört der Betrag in dem Integral an der Stelle. Wie könnte man das lösen?

Oder gibt es ein Gegenbeispiel?

Comments

Lipschitzstetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit (z.B. Betragsfunktion). Daher kannst Du so nicht vorgehen. Betrachte stattdessen mal die Definition der Rektifizierbarkeit.

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Du hast Recht, da hab ich nicht richtig aufgepasst.
Wie sieht es damit aus:

$$p_f(t_0, \ldots, t_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \left\| f(t_k) - f(t_{k-1}) \right\| \leq L \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \left\| t_k - t_{k-1} \right\| $$

und wegen: $$ \delta = \max \left\| t_i - t_{i-1} \right\|$$

und wähle: $$\delta = \frac{1}{L\cdot n} \cdot \epsilon$$

Und sei c die Länge der Kurve, also $$ c\geq 0 $$

ist:

$$L \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \left\| t_k - t_{k-1} \right\| - c \leq L \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{L \cdot n} \cdot n \cdot \epsilon - c = L \cdot \frac{1}{L \cdot n} \cdot n \cdot \epsilon - c = \epsilon - c \leq \epsilon $$

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Du benutzt die Länge c der Kurve, sollst aber doch erst zeigen, dass die Länge existiert. Was genau musst Du über die von Dir angegebene Summe p_f zeigen?

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Eine Kurve f: [a,b] -> Rⁿ heißt rektifizierbar mit der Länge c,
wenn zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so dass für jede Unterteilung
P: a = t₀ < t₁ < ... < t_k = b gilt, dass: $$ \left\| p_f(t_0, \ldots, t_k) - c \right\| \leq \epsilon $$

Wie soll ich für das denn nicht c benutzen? Der Punkt ist doch, dass c wenn schon eine positive Zahl ist oder im nicht rektifizierbaren Fall eben unendlich groß wäre. Nichtsdestotrotz ist dann epsilon - c <= epsilon, egal wie c nun aussieht oder was verstehe ich falsch?

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und (im ersten Kommentar) ist p_f eigentlich p_µ und statt f sollte immer µ stehen (ändert nichts, aber wollte ich mal noch klarstellen)

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Hmmh. Die Definition von Rektifizierbarkeit kenne ich anders. Habt Ihr vielleicht als Kriterium kennengelernt, dass die Bogenlänge auch als Supremum über alle p bestimmt ist?

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Also das habe ich so nicht im Forster gefunden. Damit ist es aber ja ganz leicht. Vielen Dank für deine Hilfe.