Bogenlänge berechnen von der Kurve f(x) = 16/147 *( 49/4 *x^2 +7/4)^1.5 von x=3 bis x=6

Question

Hi, ich muss die Bogenlänge von der Kurve 16/147 *( 49/4 *x^2 +7/4)^1.5 von x=3 bis x=6

Zunächst habe ich y´gebildet, und habe erhalten y´= 4x √(49x² /4 + 7/4)

Dieses Ergebnis in die Bogenlängenformel (L = ∫ √(1+y´(x)²) ergibt dann:

₃⁶ ∫ √(81x² /4 + 7/5) .. habe ich bis hierhin richtig gerechnet? Und wenn ja, wie rechne ich hier am besten weiter, sodass ich zum symbolischen Ergebnis (z.B. Bruch) komme?

Comments

Tipp:

(Unter der Annahme, dass du deine bisherigen Rechnungen richtig sind)

Zeige zuerst mithilfe hyperbolischer Substitution , dass

∫ √(x^2+1)dx =1/2(x*√(x^2+1)+areasinh(x))

Führe danach dein Integral  auf diesem Fall zurück.

Answer 1

Bitte nachrechnen:

Answer 2

L(a, b) = ∫ (a bis b) √(1 + (f'(x))²) dx

f(x) = 16/147·(49/4·x^2 + 7/4)^{3/2}

f'(x) = 2·√7·x·√(7·x^2 + 1)

(f'(x))² = 196·x^4 + 28·x^2

b(x) = √(1 + (f'(x))²) = 14·x^2 + 1

B(x) = ∫ √(1 + (f'(x))²) dx = 14/3·x^3 + x + c

B(6) - B(3) = 1014 - 129 = 885