Existenz einer Matrix angeben, invertierbare Matrix angeben

Question

Aufgabe:

Als Beispiel:

$$\begin{pmatrix} 3&2&-2\\ 2&3&-2\\ 2&2&-1 \end{pmatrix}$$

Ich habe das charakteristische Polynom berechnet, zu allen Eigenwerten von einer Matrix, den Eigenraum sowie die Menge aller Eigenvektoren und jetzt soll ich eine Matrix angeben mit S ∈ Gl(3,ℝ), für welche S^-1AS Diagonalgestalt hat.

Dafür bekomme ich:

$$S=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}$$

Nun habe ich zwei Fragen:

1. Was müsste ich machen wenn als Frage kommen würde: Beweisen oder widerlegen sie Die Existenz einer Matrix S ∈ Gl(3,ℝ) mit

$$S^{-1}\begin{pmatrix} 3&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}$$

2. Was müsste ich machen wenn als Frage kommen würde: Geben Sie eine invertierbare Matrix S an, für welche S^-1AS Diagonalgestalt hat.

Answer 1

Dein \(S\) stimmt. Das führt auf \(D=diag(1,1,3)\).

Wenn es ein \(D\) gibt, stehen in der Diagonalen die EWe und in \(S\) die zugehörigen EVen.

Zu Deiner Frage 1: Da fehlt was, ich nehme an, Du meinst \(S^{-1}DS=A\).

Das kann für dieses \(A\) nicht stimmen, weil dann 3 dreifacher EW sein müsste Wir haben aber 3 als einfachen EW und 1 als doppelten.

Zu Frage 2: Dein \(S\) erfüllt das doch.

Generell gilt: Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

1. A ist diagonalisierbar

2. A besitzt n lin. unabh. EVen

3. Es gibt eine Basis von \(\R^n\) aus EVen von A.

4. Für jeden EW von A ist gilt: alg. Vielfachheit = geom. Vielfachheit.

Für reelle symmetrische Matrizen geht das immer. Für unsymmetrische muss man erstmal rechnen (wie Du es gemacht hast).

Comments

Danke für die Antwort, nun verstehe ich es!

Noch eine kleine Frage, was wäre wenn ich wie oben mein S ganz normal angeben muss und dann noch zusätzlich AS angeben soll und zwar ohne das ich die Multiplikation von A und S rechnerisch durchführe.

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In den Spalten von \(S\) stehen ja die EVen von \(A\), d.h. in \(A\cdot S\) stehen die vielfachen der EVen in den Spalten, d.h.

erste Spalte von \(A\cdot S =A\cdot \text{erster EV} = \lambda_1\cdot \text{erster EV}\),

wobei \(\lambda_1\) der erste EW ist. Die anderen Spalten analog.

Die Merkregel \(A\cdot S = (A\cdot \text{erste Spalte von }S, A\cdot \text{zweite Spalte von }S,...)\) gilt generell und ist dabei nützlich.