Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die 2π-periodische Funktion f mit
f(t) = { 2 für t ∈ [0, π) ,
−4 für t ∈ [π, 2π) .
a) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten
a_k(f) =1/π ∫₀^2π f(t)*cos(kt)dt für k ∈ N₀

b_k(f) =1/π ∫₀^2π f(t)*sin(kt)dt für k ∈ N

b) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten c_k(f) = 1/2π∫₀^2π f(t)*e^-iktdt für k ∈ Z

Hinweis. Nutzen Sie zur Vereinfachung der Ergebnisse sin (mπ) = 0, cos (mπ) = (−1)m
für m ∈ Z

Problem/Ansatz:

Ich habe a_k berechnet, und zwar das bekommen: a₀ = -2, und für k>0 a_k = (6sin(πk) - 4sin(2πk))/πk.

Ich verstehe nicht wie man b_k berechnet, bzw. wie genau man die Integrale umsetzen muss.

Genau das gleiche bei c_k.

Answer 1

Deine \(a_k\) stimmen, beachte aber zur Vereinfachung den Hinweis.

Die Berechnung der \(b_k\) geht genauso wie die der \(a_k\), steht halt bloss \(\sin\), wo vorher \(\cos\) stand. Die Integrale werden genauso behandelt wie vorher. Da Du \(a_k\) richtig berechnet hast, gibt es keinen erkennbaren Grund für Probleme bei \(b_k\).

Wenn man \(a_k\) und \(b_k\) hat, gibt es eine simple Formel daraus die \(c_k\) zu berechnen, so dass man dafür nicht mehr integrieren muss. Schau mal in Deine Unterlagen, ob dort diese Formel steht. Wenn nicht, musst Du halt integrieren (auch nicht schwer bei den e-Funktionen).

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe dann zu a_k = 0 für k>0 gekürzt

ich habe b_k so berechnet: 1/π (∫₀^π 2sin(kt)dt + ∫_π^2π (-4)sin(kt)dt)

mit der Vereinfachung aus dem Hinweis (cos (mπ) = (−1)^m für m ∈ Z)

-> b_k = (-6 * (-1)^k + 6)/ πk für k ∈ N.

Stimmt das so?

Danke nochmal

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Ja, passt, alles richtig.