Bestimmen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale mittels Substitution:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale mittels Substitution:

\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{x}{\sqrt[3]{2-x}} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Gleichung umformen, dass man schnell sieht, was man substituieren kann?

Comments

Hier wird dir der Rechenweg gezeigt:

https://www.integralrechner.de/

Gib dabei ein: (2-x)^(1/3) für die 3. Wurzel.

Wenn der Oberlehrer und Dauerspötter abakus das wieder kommentiert, nicht wundern.

Er kann nicht aus seiner Haut und meint, jeder kenne diese Seite,

die auch andere Kollegen oft verlinken, die blöd anzumachen er sich nicht traut.

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Wenn ich hier was zu sagen hätte, würde ich ggT22 sperren.

Dieses ständige Rumgepöbel nervt!

Jetzt sogar schon vorauseilend.

Mensch eyh, ggT, was soll das immer? Lass es doch bitte einfach!

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Mein Kommentar ist begründet.

Erst gestern hat er sich wieder lustig gemacht.

Wer austeilt, muss auch einstecken können.

Ich finde nicht Beleidigendes an meinen deutlichen Worten.

Es braucht nur aufzuhören, dann ist die Sache erledigt.

Und du solltest nicht mit zweierlei Maß messen und ihm die Stange halten.

Das heute war nur ein Präventivschlag.

Ich unterstelle abakus Böswilligkeit.

Wer zum Verspotten aufruft, ist böswillig.

Answer 1

Der Tipp mit der Substituion ist nicht gut, denn hier hilft partielle Integration weiter:

Die Aufgabe verlangt aber, Substitution zu verwenden.

So z.B.:

\(t=2-x\), also \(x=2-t\) und \(dx=-dt\) ergibt:

\((-1)\frac{x}{(2-x)^{1/3}}=\frac{t-2}{t^{1/3}}=t^{2/3}-2t^{-1/3}\).

Hierzu eine Stammfunktion zu basteln, dürfte kein Problem sein.

Answer 2

Aloha :)

Der Tipp mit der Substituion ist nicht gut, denn hier hilft partielle Integration weiter:

$$I=\int\frac{x}{\sqrt[3]{2-x}}\,dx=\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(2-x\right)^{-\frac13}}_{=v'}dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{\left(2-x\right)^{\frac23}}{-\frac23}}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{\left(2-x\right)^{\frac23}}{-\frac23}}_{=v}dx$$$$\phantom I=-\frac32x(2-x)^{\frac23}+\frac32\int(2-x)^{\frac23}dx=-\frac32x(2-x)^{\frac23}+\frac32\frac{(2-x)^{\frac53}}{-\frac53}+C$$$$\phantom I=-(2-x)^{\frac23}\left(\frac32x+\frac{9}{10}(2-x)\right)+C=-(2-x)^{\frac23}\left(\frac{18}{10}+\frac{6}{10}x\right)+C$$$$\phantom I=-\frac35(2-x)^{\frac23}\left(3+x\right)+C$$

In den Grenzen von \(0\) bis \(1\) heißt das:$$\int\limits_0^1\frac{x}{\sqrt[3]{2-x}}\,dx=-\frac{12}{5}+\frac{18}{5\sqrt[3]{2}}=-\frac{12}{5}+\frac{18\cdot2^{\frac23}}{5\cdot2}=-\frac{12}{5}+\frac{9}{5}\sqrt[3]{4}\approx0,4573$$