Durchschnittliche Anzahl von Versuchen bis Ereignis eintritt

Question

Aufgabe:

Ausgangslage: Es gibt 9 Felder die nacheinander ausgewählt werden können. Hinter einem Feld befindet sich ein Gewinn. Die ausgewählten Felder mit einer "Niete" werden nicht weiter Berücksichtigt. Nachdem man den Gewinn gezogen hat, geht es von vorne mit 9 Feldern los.

Ziel: Wie viele Versuche werden im Schnitt benötigt um den Gewinn zu ziehen.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich durchsuche seit Stunden das Internet und finde irgendwie nichts brauchbares. Ich habe eine Lösung für mein Problem gefunden, bin mir aber nicht sicher ob dies auch mathematisch wirklich richtig ist

Meine unmathematische Lösung:(Ich hoffe das ist nicht alles komplett falsch)

Wahrscheinlichkeit des Gewinns pro Runde:

1. Versuch =1/9=11,11%

2. Versuch =1/8=12,50%

3. Versuch =1/7=14,29%

4. Versuch =1/6=16,67%

5. Versuch =1/5=20,00%

6. Versuch =1/4=25,00%

7. Versuch =1/3=33,33%

8. Versuch =1/2=50,00%

9. Versuch =1/1=100,00%

Nun habe ich alle Wahrscheinlichkeiten addiert (282,90%) und durch 2 geteilt (141,45%) Dadurch nehme ich an, dass ich die Anzahl der Versuche brauche die einer Summe von 141,45% entsprechen. In dem Fall 7,? , da Versuch 1−7 eine Summe von 132,90% ergeben und Versuche 1−8 bereits den Wert mit 182,90% überschreitet.

Da die Versuch 8 in der addition 50% dazu gibt, ich aber von 132,90% nur weitere 8,55% brauche um auf meine 141,45% zu kommen, habe ich ganz simpel 8,5550=0,17 gerechnet und mir daraus hergeleitet, dass ich 7,17 versuche im Durchschnitt pro Runde benötige um ein Gewinn zu ziehen.

Da dies aber bestimmt falsch ist und ich allen Mathematikern mit diesem Rechenweg jetzt Bauchschmerzen bereite, würde ich mich über einen "vernünftigen" Ansatz freuen.

Answer 1

Als Erstes macht man sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

X: Anzahl der Versuche bis man das Gewinn-Feld gewählt hat

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P(X = x)	1/9	1/9	1/9	1/9	1/9	1/9	1/9	1/9	1/9

Wichtig. Die Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen addiert immer 1 ergeben. Daran kannst du schon sehen das 1/9, 1/8, 1/7, ... nicht sein kann weil das addiert gewiss nicht 1 ergeben.

Erwartungswert berechnet sich jetzt wie folgt.

E(X) = 1·1/9 + 2·1/9 + 3·1/9 + 4·1/9 + 5·1/9 + 6·1/9 + 7·1/9 + 8·1/9 + 9·1/9
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)·1/9
E(X) = 45·1/9 = 5

Answer 2

1. Versuch : 1/9

2. Versuch : 8/9*1/8 = 1/9

3. Versuch: 8/9*7/8*1/7 = 1/9

usw.

Die WKT ist immer 1/9.

Comments

Hi,

sowas ähnliches habe ich auch schon gesehen, aber nicht verstanden.
Beim ersten Versuch habe ich 1 Gewinn von 9 Feldern
Bei zweiten versuch habe ich eine Niete rausgenommen und es ist nun 1 Gewinn unter 8 Feldern. ... die Wahrscheinlichkeit den Gewinn zu ziehen erhöht sich doch.
Wenn ich viel Pech habe und 8 Nieten ziehe, muss die letzte ja zu 100% der Gewinn sein

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t = Treffer, n = Niete

p(t) = 1/9

p(n t) = 8/9*1/8

p( n n t) = 8/9*7/8*6/7

usw.

Mach dir ein Baumdiagramm.

Wenn ich viel Pech habe und 8 Nieten ziehe, muss die letzte ja zu 100% der Gewinn sein

Ja, aber die WKT für dieses Ereignis ist auch 1/9.

Du kannst sagen, dass du maximal 9mal auswählen musst

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PS:

Ziel: Wie viele Versuche werden im Schnitt benötigt um den Gewinn zu ziehen.

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)/ 9 = 5