kommutierende lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Frage zu kommutierenden linearen Abbildungen

Hallo zusammen,

ich mache gerade Aufgaben ohne Ende für die KLausur und da bin ich auf eine Aufgabe gestoßen und ich bin planlos, wie man die Aufgabe lösen könnte. Ich hoffe ihr könnt mir helfen :

Text erkannt:

Seien \( V, V^{\prime} \) sowie \( W, W^{\prime} \) Vektorräume über einem Körper \( K \). Seien \( \Phi: V \rightarrow W \) und \( \Psi: W \rightarrow W^{\prime} \) zwei Isomorphismen. Ferner seien \( \varphi: V \rightarrow W \) und \( \psi: V^{\prime} \rightarrow W^{\prime} \) beliebige lineare Abbildungen, sodass das Diagram
kommutiert, d.h. es gilt \( \psi \circ \Phi=\Psi \circ \varphi \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{ker}(\psi)=\Phi(\operatorname{ker}(\varphi)) \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Bild}(\psi)=\Psi(\operatorname{Bild}(\varphi)) \) ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Es geht hier um eine sogenannte Diagrammjagd,

wie sie im "General Nonsense" üblich ist:

Als Beispiel der Vorgehensweise hier ein Teil

der Behauptung:

Sei \(v'\in \ker(\psi)\). Da \(\Phi\) surjektiv ist, gibt es ein

\(v\in V\) mit \(\Phi(v)=v'\). Ich zeige nun, dass

\(v\in \ker(\varphi)\) ist:

\(\varphi(v)=0\iff \Psi(\varphi(v))=0\), da \(\Psi\)

injektiv ist. Nun ist aber wegen der Kommutativität

des Diagramms \(\Psi(\varphi(v))=\psi(\Phi(v))=\psi(v')=0\).

Da \(\Psi\) injektiv ist, folgt daraus \(\varphi(v)=0\).

Damit ist gezeigt: \(\ker(\psi)\subseteq \Phi(\ker(\varphi))\).

Comments

Vielen herzlichen Dank für deine schnelle Antwort

Jetzt ist mir der Beweis klar

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Übrigens: die Aufgabenstellung enthält einen Fehler:

Es muss \(\Phi:V\to V'\) heißen.