Gleichungen nach x auflösen(log/exp)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 7. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach \( x \) auf.
(i) \( \log \left(x^{2}+1\right)+\log \left(x^{2}-1\right)=0 \),
(ii) \( \frac{\sinh (x)}{e^{x}}=\frac{e-1}{2 e} \),
(iii) \( \log \left(4 x^{4}\right)+\log \left(\frac{3}{x^{3}}\right)+\log \left(2 x^{2}\right)+\log \left(\frac{1}{x}\right)^{e}=\log 384 \),
(iv) \( 4^{x^{2}}=\left(4^{x}\right)^{2} \)

Problem/Ansatz:

Die i) habe ich gelöst, indem ich durch exp geteilt habe.

Nun bin ich bei der ii) und weiß nicht weiter. Ich vermute mal ich muss durch log teilen, aber so richtig klappt das nicht.

Die iii) und iv) würde ich glaube ich wieder selbst hinbekommen.

Comments

Die i) habe ich gelöst, indem ich durch exp geteilt habe.

Das ist völliger Unsinn!

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Vielleicht habe ich mich ungenau ausgedrückt. Aber wenn ich durch exp teile erhalte ich: exp(log(x²+1) + log(x²-1)) =exp(0). Nach weiterem umformen dann x = \( \sqrt[4]{2} \) . Das war aber auch überhaupt nicht meine Frage...

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Bei (i) solltest du auf die Gleichung \(x^4=2\) kommen und die hat mehr als eine Lösung.

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Genau. Dann die Wurzel ziehen und somit erhalte ich +-\( \sqrt[4]{2} \)

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Ja.                                        .

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Durch Funktionssymbole kann man nicht dividieren. Es geht um Anwendung der Umkehrfunktion. Vermutlich meinst du das auch?

Answer 1

Hallo,

Nun bin ich bei der ii) und weiß nicht weiter.

\(\sinh\) ist der Sinus hyperbolicus. Aufgelöst wird das z.B. so:$$\begin{aligned} \frac{\sinh (x)}{e^{x}} &=\frac{e-1}{2 e} &&|\, \sinh (x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2e^{x}} &=\frac{e-1}{2 e} &&|\,\cdot 2e^{x}\\ e^{x}-e^{-x} &= (e-1)(e^{x-1}) \\ e^{x}-e^{-x} &= e^{x} - e^{x-1} &&|\, - e^{x}\\ -e^{-x} &= - e^{x-1} &&|\, \cdot(-1)\\ e^{-x} &=  e^{x-1} &&|\, \cdot e^{x}\\ 1 &= e^{2x-1} &&|\, \ln \\ 0 &= 2x-1 \\ x &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Die iii) und iv) würde ich glaube ich wieder selbst hinbekommen.

Ok - wenn Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte! Zur Kontrolle (iii) \(x=4\) und (iv) \(x_1=0\) und \(x_2=2\)

Gruß Werner

Answer 2

1. Verwende: log(a) + log(b) = log(a*b)

und (a+b)(a-b) = a^2-b^2

2. sinh(x) = 1/2*(e^x - e^-x)

3. vgl.1.

4. 4^x^2 = (4^x)^2

4^x^2 = 4^(2x)

Exponentenvergleich:

x^2 = 2x

x^2-2x =0

x(x-2) =0

x= 0 v x= 2

Answer 3

Hallo,

Aufgabe ii):

Answer 4

\( \frac{\sinh (x)}{e^{x}}=\frac{e-1}{2 e} \)

\(\sinh(x)=0,5*(e^x -e^{-x})\)

\( \frac{0,5*(e^x -e^{-x})}{e^{x}}=\frac{e-1}{2 e} \)

\( \frac{(e^x -\frac{1}{e^{x}})}{e^{x}}=\frac{e-1}{ e} \)

\( 1-\frac{1}{e^{2x}}= 1-\frac{1}{e} \)

\( \frac{1}{e^{2x}}= \frac{1}{e} \)

\( e^{2x}=e \)

\( 2x=1 \)

\( x=\frac{1}{2} \)

Answer 5

iv)

$$4^{x^2} = (4^x)^2 \newline 4^{x^2} = 4^{2x} \newline x^2 = 2x \newline x^2 - 2x = 0 \newline x(x - 2) = 0 \newline x_1 = 0 ~ \lor ~ x_2 = 2$$