Kennst du die Zinseszinsformel?
K ( t ) = K 0 * ( 1 + p ) t
Diese Formel gibt an, welches Kapital man hat, wenn ein Kapital K0 während t Zinsperioden zu einem Zinssatz von p verzinst wird (p ist dabei als Dezimalbruch zu schreiben.Wenn also der Zinssatz 16 % beträgt dann ist p = 16 / 100 = 0,16)
Die Formel beschreibt das exponentielle Wachstum, eine Wachstumsform, nach der sehr viele natürliche und physikalische Vorgänge verlaufen, so z.B. auch die Entladung eines Kondensators.
In der vorleigenden Aufgabenstellung ist das "Kapital" die Ladungsmenge Q, also kann man die Zinseszinsformel in der Form
Q ( t ) = Q0 * (1 - 0,16 ) t
anwenden. Dabei ist:
t: die "Zinsperiode", also der Zeitraum, indem sich die Ladung um den angegebenen Prozentsatz ( 0,16 ) verringert
Q ( t ) die Ladungsmenge, die nach t Zeiteinheiten (zu je 5 s) noch im Kondensator vorliegt
Q0 die ursprüngliche Ladungsmenge
Die Halbwertszeit ist nun diejenige Anzahl an Zeiteinheiten t, nach der gilt:
Q ( t ) = ( 1 / 2 ) Q0
multipliziert mit der Länge einer Zeiteinheit ( hier: 5 s ).
Also:
Q ( t ) = ( 1 / 2 ) Q0
<=> Q0 * ( 1 - 0,16 ) t = ( 1 / 2 ) Q0
<=> ( 1 - 0,16 ) t = 1 / 2
<=> 0,84 t = 1 / 2
<=> log ( 0,84 t ) = log ( 1 / 2 )
<=> t * log ( 0,84 ) = log ( 1 / 2 )
<=> t = log ( 1 / 2 ) / log ( 0,84) ≈ 3,9755
Die Halbwertszeit beträgt also t ≈ 3,9755 Zeiteinheiten, also etwa 3,9755 * 5 = 19,88 s
Wie du vielleicht bemerkt hast, taucht nirgends die in der Aufgabenstellung angegebene ursprüngliche Ladungsmenge Q0 = 200 C auf. Das liegt daran, dass die Halbwertszeit unabhängig von der ursprünglich vorhandenen Ladungsmenge ist. Egal, wieviel Ladung der Kondensator trug - nach knapp 20 Sekunden trägt er nur noch die Hälfte davon.
