Bestimmung von drei Grenzwerten

Question

Ich habe die Aufgaben bereits berechnet, in einer Klausur, bin mir jedoch nicht sicher, ob ich damit Recht hatte. Könnte jemand diese drei Grenzwerte durchrechnen?

1. \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ((x * \( \sqrt{x} \) * log(x)) / x^3/2-ε), wobei ε > 0

2. \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ((x * \( \sqrt{x} \) * log(x)) / x^3/2)

3. \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ((x * \( \sqrt{x} \) * log(x)) / x^3/2+ε), wobei ε > 0

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\cdot\sqrt x\cdot\log(x)}{x^{3/2-\varepsilon}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}\cdot\log(x)}{x^{3/2-\varepsilon}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^\varepsilon\cdot\log(x)\right)=\infty$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\cdot\sqrt x\cdot\log(x)}{x^{3/2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}\cdot\log(x)}{x^{3/2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\log(x)\right)=\infty$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\cdot\sqrt x\cdot\log(x)}{x^{3/2+\varepsilon}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}\cdot\log(x)}{x^{3/2+\varepsilon}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\log(x)}{x^\varepsilon}\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{\varepsilon x^{\varepsilon-1}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\varepsilon x^{\varepsilon}}=0$$

\((\ast)\) Regel von L'Hospital

Comments

Vielen Vielen Dank!

Answer 2

Da man jeweils durch x3/2 kürzen kann sind die GW ja leicht. was hast du denn raus? vielleicht müssen wir ja nur richtig sagen

lul

Comments

Hatte unendlich, unendlich und 0 raus. Das war wichtig für den weiteren Verlauf der Aufgabe, und scheint richtig zu sein :)