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Schriftliche Übungsaufgaben
(29) Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}=3 \)
gilt. Geben Sie weiter ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) mit
\( \left|\sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}-3\right|<10^{-5} \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq n_{0} \) an.
(30) Sei \( a_{0}>0 \) und definiere die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv durch
\( a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right) \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie:
(a) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \) ist monoton fallend.
(b) Es gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=1 \).
Problem/Ansatz:
Bräuchte bei den beiden Aufgaben Hilfe. Weiß nicht wie ich bei den Aufgaben anfangen soll und zu einem Ergebnis kommen soll. Bitte ausführlich!
Danke in Voraus:)
