Ich hab allerdings keinen Plan, wie ich bei den einseitigen Grenzwerten vorgehen soll?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-2} \)
bei \( x \rightarrow-\infty \) und \( x \rightarrow \infty \) und die einseitigen Grenzwerte bei \( x \uparrow 2 \) und \( x \downarrow 2 \).

Text erkannt:

\( f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-2} \)
bei \( x \rightarrow-\infty \) und \( x \rightarrow \infty \) und die einseitigen Grenzwerte bei \( x \uparrow 2 \) und \( x \downarrow 2 \).

Problem/Ansatz:

Es soll das Konvergenzverhalten dieser Funktion untersucht werden. bei x--> minus unendlich komme ich auf das Ergebnis lim = unendlich, bei unendlich ebenso (soweit richtig?). Ich hab allerdings keinen Plan, wie ich bei den einseitigen Grenzwerten vorgehen soll?

Answer 1

Schreib zum Beispiel deine Funktion so:

\(f(x) = (x^3+1)\cdot \frac 1{x-2}\)

Nun nutzt du die Grenzwerteigenschaften an Polstelle (hier \(x=2\)).

Offenbar ist \(\lim_{x\to 2}(x^3+1) = 9\).

Außerdem gilt

\(\lim_{x\to2^+} \frac 1{x-2}\stackrel{x=2+h}{=}\lim_{h\to0^+}\frac 1h = \infty\)

\(\lim_{x\to2^-} \frac 1{x-2}\stackrel{x=2-h}{=}-\lim_{h\to0^+}\frac 1h = -\infty\)

Damit folgt:

\(\lim_{x\to 2^+}  \left((x^3+1)\cdot \frac 1{x-2}\right) = "9\cdot\infty" = \infty\)

Den Fall \(x\to 2^-\) überlass ich dir zum üben.

Comments

Vielen Dank für deine Verständliche Erklärung! Lieg ich richtig, dass der lim imzweiten Fall auch unendlich ist?

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Minus unendlich! :-)

Answer 2

( x^3 + 1 ) / ( x - 2 )

lim x - > 2(-)
2(-) - 2 = 0(-)
( x^3 + 1 ) / 0(-)
-∞

lim x - > 2(+)
2(+) - 2 = 0(+)
( x^3 + 1 ) / 0(+)
+∞