Lineare Abbildung phi: R^2 -> R^2

Question

Gegeben seiè eine lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und Vektoren \( v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{2} \) mit

\( \varphi\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_{1}-x_{2} \\ x_{2}-x_{1} \end{array}\right), v_{1}=\left(\begin{array}{l} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} . \)
a) Überprüfen Sie \( \varphi \) auf Injektivität und Surjektivität.
b) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{V}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \) eine Orthonormalbasis des \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( A_{\mathcal{V}}^{\mathcal{V}} \) von \( \varphi \) bezüglich der Basis \( \mathcal{V}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \).

Moin, ich wollte einfach mal kurz fragen ob meine Lösungen Korrekt sind, bin bei c unsicher.

a)

Da es sich um eine Lineare Abbildung handelt, berechne ich den Kern von phi und erhalte (x_2 ## x_2) er ist also ungleich 0 und somit ist phi nicht Injektiv.

Ich berechne die basis erhalte (1##1) und man erkennt leicht, das dies keine basis des Gesamten R^2 ist und somit phi nicht surjektiv ist.

b)

Ich berechne das Skalarprodukt <v_1,v_2> da kommt 0 raus also sind die Vektoren Orthogonal zueinander.

Ich berechne die Norm ||v_1||, ||v_2|| bei beiden kommt 1 raus.

Es folgt, es handelt sich um eine Orthonormalbasis.

c)

phi(v_1)=(-1/5 ## 1/5)
phi(v_2)=(-7/5 ## 7/5)
A^v_v=(-1/5 # -7/5 ## 1/5 # 7/5)

Answer 1

Zu a): Die Begründung mit (x_2 x_2) (oder was soll das heißen?) finde ich unklar. Um zu zeigen, dass der kern mehr als {0} ist, gibt man am einfachsten und klarsten einen konkreten Vektor v an, für den phi(v) nicht 0 ist (mit Nachweis).

surjektiv: "Basis" wovon? Auch hier: gib einen konkreten Vektor an, der nicht im Bild ist (mit Nachweis).

b) ist richtig.

c) In den Spalten von A stehen die Bilder der Basisvektoren der ersten Basis, zerlegt in der zweiten Basis.

In der ersten Spalte also \(\binom{a}b\), wenn \(\varphi (v_1) = a v_1 +b v_2\). Da wir eine ONB haben, sind die gesuchten Koeffizienten die Skalarprodukte: \(a=\varphi(v_1)\cdot v_1,\; b=\varphi(v_1)\cdot v_2\).