Zeigen Sie, dass phi eine lineare Abbildung ist. Darstellungsmatrizen?

Question

Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung ist .

EDIT: 

S= {(1‚0‚0)‚(0‚1‚0)‚(0‚0‚l)}
die Standardbasis des R^3 und
T = {(1‚0‚ -2)‚(1‚-2‚0)‚(2,5‚6)}
eine weitere Basis. Es sei φ: R3 -> R3 gegeben durch
(x‚y‚z) »-> (x + z , 2x+ 2y + z ‚ 4x+ 2y + z)
Zeigen Sie, dass φ eine lineare Abbildung ist.
Berechnen Sie die Darstellungsmatrizen DS‚S(φ)‚ DS,T(φ)
und DT‚T(φ).
Folgern Sie daraus, was der Kern und das Bild von φ, φ^2(φ hoch zwei) und φ^3( φ hoch drei) sind.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass φ eine lineare Abbildung ist. Berechnen Sie die Darstellungsmatrizen

Stichworte: abbildungsmatrix,darstellungsmatrix

konnen Sie bitte mir zeigen,wie man diese Aufgabe losen kann. mit komplete Rechnenwegs. 
Entschuldiung wegen meinem Deutsch nicht so gut ist. 

hier ist Frage

S= {(1‚0‚0)‚(0‚1‚0)‚(0‚0‚l)}
die Standardbasis des R3 und
T = {(1‚0‚ -2)‚(1‚-2‚0)‚(2,5‚6)}
eine weitere Basis. Es sei φ: R3 -> R3 gegeben durch
(x‚y‚z) »-> (x + z , 2x+ 2y + z ‚ 4x+ 2y + z)
Zeigen Sie, dass φ eine lineare Abbildung ist.

Berechnen Sie die Darstellungsmatrizen DS‚S(φ)‚ DS,T(φ)
und DT‚T(φ).

Folgern Sie daraus, was der Kern und das Bild von φ, φ^2(φ hoch zwei) und φ^3( φ hoch drei) sind.

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was hast du im hinblick auf die erfolgreiche bearbeitung dieser aufgabenstellung bereits für schritte eingeleitet (außer hier zu fragen)? gemeint ist, welche ansätze hast du schon ausprobiert? was sagt dein skript? was sagen deine mitstudenten?

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So was hammer schon

https://www.mathelounge.de/514174/zeigen-sie-dass-eine-lineare-abbildung-ist

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abbildung Darstellungsmatrizen, Kern, Bild

Stichworte: abbildungsmatrix,bild,kern,surjektiv,vektoren,darstellungsmatrix

Wie bestimmt ob es sich um eine lineare Abbildung handelt?
Und wie bildet man daraus eine Matrix ?

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bitte beachtet, dass die Aufgaben https://www.mathelounge.de/514174/zeigen-sie-dass-eine-lineare-abbildung-ist , https://www.mathelounge.de/514411/zeigen-lineare-abbildung-berechnen-darstellungsmatrizen und https://www.mathelounge.de/514571/lineare-abbildung-darstellungsmatrizen-kern-bild Doubletten sind. 

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bitte beachtet, dass die Aufgaben https://www.mathelounge.de/514174/zeigen-sie-dass-eine-lineare-abbildung-ist , https://www.mathelounge.de/514411/zeigen-lineare-abbildung-berechnen-darstellungsmatrizen und https://www.mathelounge.de/514571/lineare-abbildung-darstellungsmatrizen-kern-bild Doubletten sind. 

Answer 1

Hallo anhtran, diese Aufgabe ist identisch mit https://www.mathelounge.de/514174/zeigen-sie-dass-eine-lineare-abbildung-ist , wie schon von Wächter angemerkt, und außerdem mit https://www.mathelounge.de/514571/lineare-abbildung-darstellungsmatrizen-kern-bild .  Dort werden aber keine ausführlichen Lösungen gegeben.

Die Frage ist, ob φ linear ist.  Dazu muss geprüft werden, ob
φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2)
mit v1 = (x1, y1, z1) und v2 = (x2, y2, z2)
und ob
φ(a * v) = a * φ(v)
mit a ∈ R und v = (x, y, z).
Bitte prüfe das mal nach.  Dann helfe ich dir mit dem Rest der Aufgabe.

Comments

Bitte schön :-)  

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Hallo anhtran, die Lösung für die Matrix D_S,S findest du seit heute unter https://www.mathelounge.de/514571/lineare-abbildung-darstellungsmatrizen-kern-bild .

Answer 2

Ich nehme an ein Vektor {x,y,z} sollte in Spalte stehen, würde das dann so aussehen?

Answer 3

Zeige einfach : Für alle a,b aus R und (u1,u2,u3) und (v1,v2,v3) aus R3

gilt  Φ( a* (u1,u2,u3)+b* (v1,v2,v3) )

         =          Φ(  au1+bv1, au2+bv2, cu1+cv2)

         = ..............

        =a*Φ(u1,u2,u3) +b* Φ (v1,v2,v3) 

Dann ist Φ linear.

Für die Matrix bestimmst du erst mal die Bilder der 

Elemente von S, also Φ(1,0,0) = (1,2,4) 

 Φ(0,1,0) = (0,2,2) und  Φ(0,0,1) = (1,1,1) 

Bei der Matrix D_s,s hast  du damit die Spalten der

Matrix, also 

1    0    1
2   2     1
4    2    1.

Bei den anderen Basen musst du sie jeweils mit der

richtigen Basis darstellen.