Zeigen Sie, dass für n=2 gilt: V=U_{1} \oplus U_{2} .

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=M(n ; \mathbb{R}) \) quadratischer Matrizen. Mit \( U_{1}, U_{2} \) bezeichnen wir die folgenden Teilmengen:
\( \begin{array}{l} U_{1}:=\left\{\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{i j}=0 \text { für } i \neq j\right\}, \\ U_{2}:=\left\{\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{i j}=0 \text { für } i+j \neq n+1\right\} . \end{array} \)

b) Zeigen Sie, dass für \( n=2 \) gilt: \( V=U_{1} \oplus U_{2} \).

Problem/Ansatz:

ich weiss wie ich die Summe zweiter untervektorraueme bestimmen kann, aber wie mache ich das mit matrizen?
Die Matrizen sind ja für n=2:

$$U_1=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\\ U_2=\begin{pmatrix} 0 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}\\$$

Muss ich diese jetzt als vektoren schreiben zu:

$$U_1=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\0\\0\\b \end{pmatrix}\\ U_2=\begin{pmatrix} 0 & c \\ d & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\d\\c\\0 \end{pmatrix}$$
oder kann ich einfach zeigen das:

$$U_1 \oplus U_2=<\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}>$$

oder kann ich die matrizen als vektoroperationen schreiben:

$$U_1 = a*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\\ U_2 = c*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}+d*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\\$$
und damit dann zeigen, dass alle $$M \in R^{2x2}$$ von $$U_1 \oplus U_2$$ erzeugt werden können.
Ich bin leicht verwirrt da ich mit keiner der Lösungen so richtig zufrieden bin.

Answer 1

\( V=U_{1} \oplus U_{2} \)

Laut Definition der direkten Summe ist das genau dann der Fall, wenn es zu jedem \(\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in V\) genau ein \(\left(\begin{smallmatrix}w&0\\0&x\end{smallmatrix}\right)\in U_1\) und genau ein \(\left(\begin{smallmatrix}0&y\\z&0\end{smallmatrix}\right)\in U_2\) gibt, so dass

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&y\\z&0\end{pmatrix}\)

ist. Zeige deshalb, dass es zu jedem \(\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in V\) genau ein \(\left(\begin{smallmatrix}w&0\\0&x\end{smallmatrix}\right)\in U_1\) und genau ein \(\left(\begin{smallmatrix}0&y\\z&0\end{smallmatrix}\right)\in U_2\) gibt, so dass

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&y\\z&0\end{pmatrix}\)

ist. Bestimme dazu für jedes \(\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in V\) die Lösungsmenge der Gleichung

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}w&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&y\\z&0\end{pmatrix}\).

als vektoren schreiben

Das ergibt keinen Sinn. Ein Vektor zeichnet sich nicht durch eine besondere Schreibweise aus, sondern dadurch dass er Element eines Vektorraumes ist.

oder kann ich einfach zeigen das:$$U_1 \oplus U_2=<\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}>$$

Nein. Da kommt überhaupt kein \(V\) vor.

\(U_1 = a*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)

Das ist falsch. \(U_1\) ist eine Menge von Vektoren, \(a*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\) ist ein einzelner Vektor.

Answer 2

Zu b)

Sei \(E_{ij}\) die Matrix, die an der Position \((i,j)\) eine Eins

und sonst nur Nullen hat.

Dann ist \(\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}\) eine Basis von

\(M:=M(2,\mathbb{R})\).

Es ist \(U_1=Span(E_{11},E_{22})\) und \(U_2=Span(E_{12},E_{21})\),

und damit \(M=U_1+U_2\quad (*)\).

Daher \(4=\dim(M)=\dim(U_1)+\dim(U_2)-\dim(U_1\cap U_2)=\)

\(=2+2-\dim(U_1\cap U_2)\).

Folglich ist \(\dim(U_1\cap U_2)=0\), also \(U_1\cap U_2=\{0\}\) und

somit die Summe \((*)\) direkt.