Bestimmen Sie die darstellende Matrix A = MB(F) bzgl.

Question

Hi

Ich bin leider etwas ratlos bei dieser Aufgabe.

Gegeben sei der Vektorraum ℝ₃[x] der Polynome dritten Grades sowie die Abbildung F: ℝ₃[x] → ℝ₃[x] mit F(a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³) = a₁+2a₂x+3a₃x²  , welche die Ableitung beschreibt. Bestimmen Sie die darstellende Matrix A = M_B(F) bzgl. der Basis der Monome B = {1,x,x²,x³}.

Answer 1

Aloha :)

Die Bilder der Basisvektoren lauten:$$\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=1\mapsto0=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=x\mapsto1=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=x^2\mapsto2x=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=x^3\mapsto3x^2=\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\end{pmatrix}$$Die Abbildungsmatrix enthält die Bilder der Basisvektoren:$$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Das geht genauso wie bei Vektoren. Unser Raum hat dim=4, wir suchen also eine 4x4-Matrix.

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basis"vektoren" (die "Vektoren" sind hier eben Polynome), zerlegt in der Basis des Bildraumes (der hier der gleiche ist wie vorher). In der ersten Spalte steht also das

Bild des ersten Basisvektors: Der erste Basisvektor ist \(p(x)=1\), das Bild davon ist \(F(p)\), dieses Polynom rechne selbst aus, die Koeffizienten (sind 4 Stück) liest man ab und schreibt sie in die erste Spalte.

Das genauso mit den anderen Spalten, fertig ist die Matrix. Mit etwas Übung schreibt man die direkt hin, wirst Du merken.