Aloha :)
Uns ist folgende Wahrscheinlichkeitsdichte bekannt:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac {x^2}{4}+x+1 & \text{für }x\in[-2;0]\\[1ex]1-\frac32x & \text{für } x\in\left[0;\frac23\right]\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$
Die gesuchte Verteilungsfunktion \(F(x)\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable \(X\) einen Wert kleiner als \(X\) annimmt: \(F(X)=P(x<X)\).
Für \(x<-2\) ist die Dichtefunktion \(f(x)=0\), also ist \(F(x<-2)=0\).
Für \(\pink{x\in[-2;0]}\) brauchen wir daher \(f(x)\) nur zu integrieren:$$\small F(x)=\int\limits_{-2}^x\left(\frac{t^2}{4}+t+1\right)dt=\frac14\int\limits_{-2}^x(t+2)^2dt=\frac14\left[\frac13(t+2)^3\right]_{t=-2}^x=\pink{\frac{1}{12}(x+2)^3}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X\) einen negativen Wert \(x\in[-2;0]\) annimmt ist also \(P(X<0)=F(0)=\frac{2^3}{12}=\frac{8}{12}\).
Dies müssen wir bei der Verteilungsfunktion für \(\green{x\in[0;\frac23]}\) beachten:$$\small F(x)=\frac{8}{12}+\int\limits_{0}^{x}\left(1-\frac32t\right)dt=\frac{8}{12}+\left[t-\frac34t^2\right]_{t=0}^x=\frac{8}{12}+x-\frac34x^2=\green{\frac{8+12x-9x^2}{12}}$$
Damit können wir die Verteilungsfunktion vollständig angeben:$$F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<-2\\[1ex]\frac{1}{12}(x+2)^3 & \text{für }x\in[-2;0]\\[1ex]\frac{1}{12}(8+12x-9x^2) & \text{für }x\in\left[0;\frac23\right]\\[1ex]1 & \text{für}x\ge\frac23\end{array}\right.$$
Ab \(x\ge\frac23\) ist die Verteilungsfunktion dann \(F(x)=1\).
~plot~ 0*(x<-2)+1/12*(x+2)^3*(x>-2)*(x<0)+1/12*(8+12x-9x^2)*(x>0)*(x<2/3)+1*(x>2/3) ; [[-3|2|-0,1|1,1]] ~plot~
