Extremstellen und Nullstellen bei kubischer Funktion

Question

Aufgabe:

Nullstellen und Extremstellen berechnen ohne Taschenrechner

Mit 2. Ableitung

f(x) = x³ - 4x² + 3x

f '(x) = 3x² - 8x + 3

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich an die Extremstellen komme.

Answer 1

Setze die erste Ableitung gleich null.

Die Mitternachtsformel wirst Du auswendig können, darum heißt sie so.

Comments

Und was dann?

Polyroots und so dürfen wir nicht benutzen

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Ich habe keine Ahnung, was "Polyroots und so" ist. Wende die Mitternachtsformel an.

Die funktioniert ohne Storm, auch bei Kerzenlicht.

Und hast Du der Kerzen nicht, so warte bis zum Tageslicht.

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Kannst du mir die Bitte erklären?

Ich soll eigentlich was mit Hinreichender Bedingungen und so machen

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Kannst du mir die Bitte erklären?

Mitternachtsformel.

Ich soll eigentlich was mit Hinreichender Bedingungen und so machen

Sowas steht nicht in der Aufgabe.

Du suchst die Extremstellen. Dort geht der Funktionswert entweder auf beiden Seiten hoch (Minimum) oder auf beiden Seiten runter (Maximum). In beiden Fällen ist die Steigung auf einer Seite negativ und auf der anderen Seite positiv, bei der Extremstelle also gleich null. Darum schrieb ich, Du sollst die erste Ableitung gleich null setzen. Und dann die quadratische Gleichung lösen, mit der Mitternachtsformel.

Answer 2

Ich verstehe nicht wie ich an die Extremstellen komme.

Entweder du dividierst durch 3 und verwendest die Lösungsformel                               x_1/2=-p/2±\( \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \) oder du verwendest die sogenannte Mitternachtsformel. Da der TR nicht eingesetzt werden darf, ist die Lösung x_1/2=\( \frac{4±\sqrt{7}}{3} \).

Comments

Da der TR nicht eingesetzt werden darf, ist die Lösung x1/2=\( \frac{4±\sqrt{7}}{3} \).

Das ist eine sehr verstörende Aussage.

Die Lösung ist auch  \( \frac{4±\sqrt{7}}{3} \), wenn der Taschenrechner eingesetzt wird oder wenn die Hölle zufriert.

Answer 3

x^3-4x^2+3x = x(x^2-4x+3) = x(x-1)*(x-3)

Nullstellen: x= 0 v x=1 v x=3

Extrema:

f '(x)= 0

3x^2-8x+3 = 0

x^2- 8/3*x+1 =0

pq-Formel

....

Answer 4

Nullstellen

f(x) = x^3 - 4·x^2 + 3·x = x·(x^2 - 4·x + 3) = x·(x - 1)·(x - 3) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 3

Extremstellen

f'(x) = 3·x^2 - 8·x + 3 = 3·(x^2 - 8/3·x + 1) = 0

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q)

x = 4/3 ± √(16/9 - 9/9) = 4/3 ± √(16/9 - 9/9) = 4/3 ± 1/3·√7 → x = 0.451 ∨ x = 2.215

Da f'(x) = 3·x^2 - 8·x + 3 eine nach oben geöffnete Parabel ist, hat die erste Nullstelle ein Vorzeichenwechsel von + zu - und ist damit die Stelle vom Hochpunkt. Das zweite muss folglich die Stelle vom Tiefpunkt sein.

Das näherungsweise Berechnen und Angabe in Dezimalzahlen ist nur zur Visualisierung der Ergebnisse im Koordinatensystem.

Skizze

~plot~ x^3-4x^2+3x;3x^2-8x+3;{0|0};{1|0};{3|0};{0.451|0.631};{2.215|-2.113} ~plot~