Umformung; Bildungsgesetz einer expliziten Folge

Question

Hallo zusammen,

ich studiere Mechatronik und nehme mir den Analysis Kurs sehr zu Herzen. Ich könnte es einfach überfliegen, aber ich will es wirklich verstehen. Ich befasse mich gerade mit Reihen und dann eben auch mit Induktion.

Meine Frage bezieht sich auf eine Umformung, die ich nicht nachvollziehen kann.

\( \frac{1}{1*2} \)+\( \frac{1}{2*3} \)+\( \frac{1}{3*4} \)....

Das wäre die Folge, ich habe daraus geschlossen, das explizite Bildungsgesetz lautet:

a_n= \( \frac{1}{(n)*(n+1)} \)

und im Heft steht

a_n= \( \frac{n}{(n+1)} \)

Ich habe durch n·n, herausheben, Doppelbruch etc.. versucht, aber ich sehe es leider nicht. Kann mir jemand einen Hinweis geben wie ich das umformen kann?

Danke und Gruß,

Michael

Answer 1

Aloha :)

Was im Heft steht, ist gleich der Summe der ersten \(n\) Folgenglieder:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot(k+1)}=\frac{n}{n+1}$$

Das kannst du dir wie folgt klarmachen:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$$$$\phantom{S_n}=\left(1+\pink{\sum\limits_{k=2}^n\frac1k}\right)-\left(\pink{\sum\limits_{k=2}^n\frac1k}+\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

Comments

Vielen DANK!!!!!!!!

Answer 2

Die beiden Terme sind nicht gleich. Das kannst du leicht sehen wenn du verschiedene Werte einsetzt. Nur für n = 1 kommt bei beiden Termen das gleiche heraus.

sn = n/(n + 1)

ist die Folge der partiellen Teilsummen der ersten n Glieder.

Das könntest du z.B. durch vollständige Induktion nachweisen.